صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

نشان دهید که برای هر $\lambda \in \mathbb{F}$ و همه $x, y \in \mathbb{F}^n$ داریم:

$$\lambda(x + y) = \lambda x + \lambda y$$

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

نشان دهید که برای هر $a, b \in \mathbb{F}$ و همه $x \in \mathbb{F}^n$ داریم:

$$(a + b)x = ax + bx$$

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

نشان دهید که برای هر $\alpha, \beta, \lambda \in \mathbb{C}$ داریم:

$$(\alpha + \beta) + \lambda = \alpha + (\beta + \lambda)$$

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

نشان دهید که برای هر $\alpha, \beta, \lambda \in \mathbb{C}$ داریم:

$$(\alpha\beta)\lambda = \alpha(\beta\lambda)$$

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

نشان دهید که برای هر $\lambda, \alpha, \beta \in \mathbb{C}$ داریم:

$$\lambda(\alpha + \beta) = \lambda\alpha + \lambda\beta$$

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

نشان دهید که برای هر $\alpha \in \mathbb{C}$، یک $\beta \in \mathbb{C}$ منحصر‌به‌فرد (یکتا) وجود دارد به‌طوری‌که:

$$\alpha + \beta = 0$$

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

نشان دهید که برای هر $\alpha \in \mathbb{C}$ با $\alpha \neq 0$، یک $\beta \in \mathbb{C}$ منحصر‌به‌فرد وجود دارد به‌طوری‌که:

$$\alpha\beta = 1$$

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

نشان دهید که $\frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}$ یک ریشه سوم $1$ است (یعنی مکعب آن برابر $1$ است).

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

دو ریشه دوم متمایز برای $i$ پیدا کنید.

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

بردار $x \in \mathbb{R}^4$ را پیدا کنید به‌طوری‌که:

$$(4, -3, 1, 7) + 2x = (5, 9, -6, 8)$$

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر، صفحه ۲۸)

ثابت کنید که برای هر $v \in V$ داریم:

$$-(-v) = v$$

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر، صفحه ۲۸)

فرض کنید $a \in \mathbb{F}$، $v \in V$ و داشته باشیم:

$$av = 0$$

ثابت کنید که حتماً $a = 0$ یا $v = 0$.

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر، صفحه ۲۸)

فرض کنید $v, w \in V$. توضیح دهید چرا یک بردار $x \in V$ منحصر‌به‌فرد وجود دارد به طوری که:

$$v + 3x = w$$

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر، صفحه ۲۸)

مجموعهٔ تهی ($\emptyset$) یک فضای برداری نیست. مجموعهٔ تهی تنها یکی از الزامات ذکر شده در تعریف فضای برداری (تعریف ۲۰.۱) را برآورده نمی‌کند. کدام یک؟

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر، صفحه ۲۸)

نشان دهید که در تعریف فضای برداری (تعریف ۲۰.۱)، شرط وارون جمعی را می‌توان با شرط زیر جایگزین کرد:

$$0v = 0 \quad (\text{برای هر } v \in V)$$

در اینجا $0$ سمت چپ عدد صفر در میدان $\mathbb{F}$ است، و $0$ سمت راست بردار همانی جمعی در $V$ است.

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر، صفحه‌های ۲۸ و ۲۹)

فرض کنید $\infty$ و $-\infty$ دو شیء متمایز باشند که هیچ‌کدام در $\mathbb{R}$ نیستند. مجموعه $\widetilde{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{\infty, -\infty\}$ را در نظر بگیرید. جمع و حاصل‌ضرب دو عدد حقیقی معمولی است، و برای هر $t \in \mathbb{R}$ تعریف می‌کنیم:

$$t(-\infty) = \begin{cases} \infty & t < 0 \\ 0 & t = 0 \\ -\infty & t > 0 \end{cases}, \qquad t\infty = \begin{cases} -\infty & t < 0 \\ 0 & t = 0 \\ \infty & t > 0 \end{cases}$$

و همچنین:

$$\infty + (-\infty) = (-\infty) + \infty = 0$$

$$t + (-\infty) = (-\infty) + t = (-\infty) + (-\infty) = -\infty$$

$$t + \infty = \infty + t = \infty + \infty = \infty$$

با این عمل‌های جمع و ضرب اسکالر، آیا $\mathbb{R} \cup \{\infty, -\infty\}$ یک فضای برداری روی $\mathbb{R}$ است؟ توضیح دهید.

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر، صفحه ۲۹)

فرض کنید $S$ یک مجموعهٔ ناتهی و $V$ یک فضای برداری روی میدان $\mathbb{F}$ باشد. فرض کنید $V^S$ مجموعهٔ تمامی توابع از $S$ به $V$ را نشان دهد:

$$V^S = \{ f \mid f: S \to V \}$$

یک جمع و ضرب اسکالر طبیعی روی $V^S$ تعریف کنید، و نشان دهید که $V^S$ با این تعاریف یک فضای برداری روی $\mathbb{F}$ است.

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر، صفحه‌های ۲۹ و ۳۰)

فرض کنید $V$ یک فضای برداری حقیقی (روی میدان $\mathbb{R}$) باشد. مختلط‌سازی $V$ (Complexification of $V$) که با $V_{\mathbb{C}}$ نشان داده می‌شود، برابر با حاصل‌ضرب دکارتی $V \times V$ است. یک عنصر از $V_{\mathbb{C}}$ یک جفت مرتب $(u, v)$ است که در آن $u, v \in V$، اما قرارداد می‌کنیم آن را به صورت زیر بنویسیم:

$$u + iv$$

عمل جمع روی $V_{\mathbb{C}}$ به صورت زیر تعریف می‌شود:

$$(u_1 + iv_1) + (u_2 + iv_2) = (u_1 + u_2) + i(v_1 + v_2) \quad (\forall u_1, v_1, u_2, v_2 \in V)$$

و ضرب اسکالر مختلط روی $V_{\mathbb{C}}$ به صورت زیر تعریف می‌شود:

$$(a + bi)(u + iv) = (au - bv) + i(av + bu) \quad (\forall a, b \in \mathbb{R}, \, \forall u, v \in V)$$

ثابت کنید که $V_{\mathbb{C}}$ با این تعاریف، یک فضای برداری مختلط (روی میدان $\mathbb{C}$) است.

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

برای هر یک از زیرمجموعه‌های زیر از $\mathbb{F}^3$، تعیین کنید که آیا زیرفضایی از $\mathbb{F}^3$ است یا خیر:

1. $U_1 = \{(x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{F}^3 : x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0\}$
2. $U_2 = \{(x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{F}^3 : x_1 x_2 x_3 = 0\}$
3. $U_3 = \{(x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{F}^3 : x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 4\}$
4. $U_4 = \{(x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{F}^3 : x_1 = 5x_3\}$

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

فرض کنید $V_1$ و $V_2$ زیرفضاهایی از $V$ هستند. ثابت کنید که اشتراک $V_1 \cap V_2$ یک زیرفضا از $V$ است.

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

ثابت کنید که اشتراک هر خانواده از زیرفضاهای $V$ یک زیرفضا از $V$ است.

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

ثابت کنید که اجتماع دو زیرفضا از $V$ یک زیرفضا از $V$ است اگر و تنها اگر یکی از زیرفضاها مشمول در دیگری باشد.

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

ثابت کنید که اجتماع سه زیرفضا از $V$ یک زیرفضا از $V$ است اگر و تنها اگر یکی از زیرفضاها حاوی دو تای دیگر باشد.

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

فرض کنید

$$U = \{(x, -x, 2x) \in \mathbb{F}^3 : x \in \mathbb{F}\}$$

و

$$W = \{(x, x, 2x) \in \mathbb{F}^3 : x \in \mathbb{F}\}$$

$U + W$ را با استفاده از نمادها توصیف کنید، و همچنین توصیفی از $U + W$ ارائه دهید که از هیچ نمادی استفاده نمی‌کند.

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

فرض کنید $U$ یک زیرفضا از $V$ است. $U + U$ چیست؟

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

آیا عمل جمع روی زیرفضاهای $V$ جابه‌جایی است؟ به عبارت دیگر، اگر $U$ و $W$ زیرفضاهایی از $V$ باشند، آیا $U + W = W + U$؟

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

آیا عمل جمع روی زیرفضاهای $V$ شرکت‌پذیر است؟ به عبارت دیگر، اگر $V_1, V_2, V_3$ زیرفضاهایی از $V$ باشند، آیا

$$(V_1 + V_2) + V_3 = V_1 + (V_2 + V_3)$$

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

آیا عمل جمع روی زیرفضاهای $V$ یک همانی جمعی دارد؟ کدام زیرفضاها وارون جمعی دارند؟

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

ثابت کنید یا یک مثال نقض بیاورید: اگر $V_1, V_2, U$ زیرفضاهایی از $V$ باشند به طوری که

$$V_1 + U = V_2 + U$$

آنگاه $V_1 = V_2$.

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

تمام ادعاهای مربوط به زیرفضاها را در مثال ۳۵.۱ (مثال ۳۴.۱ در یادداشت‌ها) تأیید کنید:

1. $U = \{(x_1, x_2, x_3, x_4) \in \mathbb{F}^4 : x_3 = 5x_4 + b\}$ یک زیرفضای $\mathbb{F}^4$ است اگر و تنها اگر $b = 0$.
2. مجموعه توابع پیوسته حقیقی‌مقدار روی بازه $[0, 1]$، یعنی $C[0, 1]$، یک زیرفضای $\mathbb{R}^{[0, 1]}$ است.
3. مجموعه توابع مشتق‌پذیر حقیقی‌مقدار روی $\mathbb{R}$ یک زیرفضای $\mathbb{R}^\mathbb{R}$ است.
4. مجموعه توابع مشتق‌پذیر حقیقی‌مقدار $f$ روی $(0, 3)$ با شرط $f'(2) = b$ یک زیرفضای $\mathbb{R}^{(0, 3)}$ است اگر و تنها اگر $b = 0$.
5. مجموعه دنباله‌های مختلط همگرا به صفر، یعنی $c_0 = \{(z_1, z_2, \dots) \in \mathbb{C}^\infty : \lim_{n \to \infty} z_n = 0\}$، یک زیرفضای $\mathbb{C}^\infty$ است.

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

فرض کنید

$$U = \{(x, x, y, y) \in \mathbb{F}^4 : x, y \in \mathbb{F}\}$$

یک زیرفضا $W$ از $\mathbb{F}^4$ پیدا کنید به طوری که

$$\mathbb{F}^4 = U \oplus W$$

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

فرض کنید

$$U = \{(x, y, x + y, x - y, 2x) \in \mathbb{F}^5 : x, y \in \mathbb{F}\}$$

یک زیرفضا $W$ از $\mathbb{F}^5$ پیدا کنید به طوری که

$$\mathbb{F}^5 = U \oplus W$$

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

فرض کنید

$$U = \{(x, y, x + y, x - y, 2x) \in \mathbb{F}^5 : x, y \in \mathbb{F}\}$$

سه زیرفضا $W_1, W_2, W_3$ از $\mathbb{F}^5$ پیدا کنید، که هیچ‌کدام برابر $\{0\}$ نباشد، به طوری که

$$\mathbb{F}^5 = U \oplus W_1 \oplus W_2 \oplus W_3$$

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

ثابت کنید یا یک مثال نقض بیاورید: اگر $V_1, V_2, U$ زیرفضاهایی از $V$ باشند به طوری که

$$V = V_1 \oplus U \quad \text{و} \quad V = V_2 \oplus U$$

آنگاه $V_1 = V_2$.

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

یک تابع $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ زوج نامیده می‌شود اگر $f(-x) = f(x)$، برای هر $x \in \mathbb{R}$. یک تابع $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ فرد نامیده می‌شود اگر $f(-x) = -f(x)$، برای هر $x \in \mathbb{R}$. فرض کنید $V_e$ مجموعه‌ی توابع زوج حقیقی‌مقدار روی $\mathbb{R}$ و $V_o$ مجموعه‌ی توابع فرد حقیقی‌مقدار روی $\mathbb{R}$ را نشان دهد. نشان دهید که

$$\mathbb{R}^\mathbb{R} = V_e \oplus V_o$$

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

نشان دهید که مجموعه‌ی توابع حقیقی‌مقدار مشتق‌پذیر $f$ روی بازه $(-4, 4)$ به طوری که

$$f'(-1) = 3 f(2)$$

یک زیرفضا از $\mathbb{R}^{(-4, 4)}$ است.

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

فرض کنید $b \in \mathbb{R}$. نشان دهید که مجموعه‌ی توابع حقیقی‌مقدار پیوسته $f$ روی بازه $[0, 1]$ به طوری که

$$\int_0^1 f = b$$

یک زیرفضا از $\mathbb{R}^{[0, 1]}$ است اگر و تنها اگر $b = 0$.

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

آیا $\mathbb{R}^2$ یک زیرفضا از فضای برداری مختلط $\mathbb{C}^2$ است؟

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

1. (الف) آیا $U = \{(a, b, c) \in \mathbb{R}^3 : a^3 = b^3\}$ یک زیرفضا از $\mathbb{R}^3$ است؟
2. (ب) آیا $W = \{(a, b, c) \in \mathbb{C}^3 : a^3 = b^3\}$ یک زیرفضا از $\mathbb{C}^3$ است؟

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

ثابت کنید یا یک مثال نقض بیاورید: اگر $U$ یک زیرمجموعه‌ی ناتهی از $\mathbb{R}^2$ باشد به طوری که $U$ تحت جمع و تحت گرفتن وارون جمعی بسته باشد (یعنی $-u \in U$ هرگاه $u \in U$)، آنگاه $U$ یک زیرفضا از $\mathbb{R}^2$ است.

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

مثالی از یک زیرمجموعه‌ی ناتهی $U$ از $\mathbb{R}^2$ بیاورید به طوری که $U$ تحت ضرب اسکالر بسته باشد، اما $U$ یک زیرفضا از $\mathbb{R}^2$ نباشد.

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

یک تابع $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ متناوب نامیده می‌شود اگر عدد مثبت $p$ وجود داشته باشد به طوری که

$$f(x) = f(x + p)$$

برای هر $x \in \mathbb{R}$. آیا مجموعه‌ی توابع متناوب از $\mathbb{R}$ به $\mathbb{R}$ یک زیرفضا از $\mathbb{R}^\mathbb{R}$ است؟ توضیح دهید.

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

یک لیست از چهار بردار متمایز در $\mathbb{F}^3$ پیدا کنید که گستره (Span) آن برابر با زیرفضای زیر باشد:

$$U = \big\{ (x, y, z) \in \mathbb{F}^3 : x + y + z = 0 \big\}$$

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

اثبات یا ارائه یک مثال نقض: اگر $v_1, v_2, \dots, v_m$ یک لیست مستقل خطی از بردارها در $V$ باشد و $\lambda \in \mathbb{F}$ با $\lambda \neq 0$، آنگاه لیست

$$\lambda v_1, \; \lambda v_2, \; \dots, \; \lambda v_m$$

مستقل خطی است.

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

اثبات یا ارائه یک مثال نقض: اگر $v_1, \dots, v_m$ و $w_1, \dots, w_m$ لیست‌های مستقل خطی از بردارها در $V$ باشند، آنگاه لیست

$$v_1 + w_1, \; \dots, \; v_m + w_m$$

مستقل خطی است.

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

فرض کنید $v_1, \dots, v_m$ در فضای برداری $V$ مستقل خطی است و $w \in V$. ثابت کنید اگر لیست

$$v_1 + w, \; \dots, \; v_m + w$$

وابسته خطی باشد، آنگاه:

$$w \in \operatorname{span}(v_1, \dots, v_m)$$

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

فرض کنید $v_1, \dots, v_m$ در $V$ مستقل خطی است و $w \in V$. نشان دهید:

$$v_1, \dots, v_m, \; w \text{ مستقل خطی است } \iff w \notin \operatorname{span}(v_1, \dots, v_m)$$

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

فرض کنید $v_1, \dots, v_m$ یک لیست از بردارها در $V$ است. برای هر $k \in \{1, \dots, m\}$، فرض کنید

$$w_k = v_1 + \dots + v_k$$

نشان دهید لیست $v_1, \dots, v_m$ مستقل خطی است اگر و فقط اگر لیست $w_1, \dots, w_m$ مستقل خطی باشد.

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

توضیح دهید چرا هیچ لیستی از شش چندجمله‌ای در $\mathcal{P}_4(\mathbb{F})$ مستقل خطی وجود ندارد.

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

توضیح دهید چرا هیچ لیستی از چهار چندجمله‌ای، $\mathcal{P}_4(\mathbb{F})$ را گسترش نمی‌دهد (Span نمی‌کند).

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

ثابت کنید فضای برداری $V$ بی‌بعد-متناهی (بعد نامتناهی) است اگر و فقط اگر دنباله‌ای از بردارها مانند $v_1, v_2, \dots$ در $V$ وجود داشته باشد به طوری که لیست

$$v_1, \dots, v_m$$

برای هر عدد صحیح مثبت $m$ مستقل خطی باشد.

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

ثابت کنید فضای $\mathbb{F}^\infty$ بی‌بعد-متناهی (بعد نامتناهی) است.

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

ثابت کنید فضای برداری حقیقی همه توابع پیوسته با مقدار حقیقی روی بازه $[0, 1]$، بی‌بعد-متناهی (بعد نامتناهی) است.

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

اثبات یا ارائه یک مثال نقض: اگر $v_1, v_2, v_3, v_4$ فضای $V$ را گسترش دهد (Span کند)، آنگاه لیست

$$v_1 - v_2, \; v_2 - v_3, \; v_3 - v_4, \; v_4$$

نیز $V$ را گسترش می‌دهد.

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

فرض کنید $p_0, p_1, \dots, p_m$ چندجمله‌ای‌هایی در $\mathcal{P}_m(\mathbb{F})$ باشند به طوری که

$$p_k(2) = 0$$

برای هر $k \in \{0, 1, \dots, m\}$. ثابت کنید لیست $p_0, p_1, \dots, p_m$ در $\mathcal{P}_m(\mathbb{F})$ مستقل خطی نیست (یعنی وابسته خطی است).

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

فرض کنید $v_1, \dots, v_m$ یک لیست از بردارها در $V$ است. برای هر $k \in \{1, \dots, m\}$، فرض کنید

$$w_k = v_1 + \dots + v_k$$

نشان دهید:

$$\operatorname{span}(v_1, \dots, v_m) = \operatorname{span}(w_1, \dots, w_m)$$

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

(الف) نشان دهید یک لیست به طول یک در یک فضای برداری مستقل خطی است اگر و فقط اگر بردار در لیست صفر نباشد.
(ب) نشان دهید یک لیست به طول دو در یک فضای برداری مستقل خطی است اگر و فقط اگر هیچ یک از دو بردار در لیست مضرب اسکالر دیگری نباشد.

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

عدد $t$ را پیدا کنید به طوری که لیست بردارها

$$(3, 1, 4), \; (2, -3, 5), \; (5, 9, t)$$

در $\mathbb{R}^3$ مستقل خطی نباشد (یعنی وابسته خطی باشد).

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

نشان دهید لیست بردارها

$$(2, 3, 1), \; (1, -1, 2), \; (7, 3, c)$$

در $\mathbb{F}^3$ وابسته خطی است اگر و فقط اگر $c = 8$.

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

(الف) نشان دهید اگر $\mathbb{C}$ را به عنوان یک فضای برداری روی میدان اعداد حقیقی $\mathbb{R}$ در نظر بگیریم، آنگاه لیست

$$1 + i, \; 1 - i$$

مستقل خطی است.
(ب) نشان دهید اگر $\mathbb{C}$ را به عنوان یک فضای برداری روی میدان اعداد مختلط $\mathbb{C}$ در نظر بگیریم، آنگاه لیست

$$1 + i, \; 1 - i$$

وابسته خطی است.

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

فرض کنید $v_1, v_2, v_3, v_4$ در فضای برداری $V$ مستقل خطی است. ثابت کنید که لیست

$$v_1 - v_2, \; v_2 - v_3, \; v_3 - v_4, \; v_4$$

نیز مستقل خطی است.

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

اثبات یا ارائه یک مثال نقض: اگر $v_1, v_2, \dots, v_m$ یک لیست مستقل خطی از بردارها در $V$ باشد، آنگاه لیست

$$5v_1 - 4v_2, \; v_2, \; v_3, \dots, v_m$$

نیز مستقل خطی است.

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

همه فضاهای برداری که دقیقاً یک پایه دارند را پیدا کنید.

$$V = ext{?}$$

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

همه ادعاها در مثال ۲۷.۲ را به طور کامل بررسی و اثبات کنید: ۱. لیست $( (1,0,\dots,0), (0,1,\dots,0), \dots, (0,\dots,0,1) )$ یک پایه از $\mathbb{F}^n$ است. ۲. لیست $((1, 2), (3, 5))$ یک پایه از $\mathbb{F}^2$ است. ۳. لیست $((1, 2, -4), (7, -5, 6))$ در $\mathbb{F}^3$ مستقل خطی است اما پایه نیست. ۴. لیست $((1, 2), (3, 5), (4, 13))$ مولد $\mathbb{F}^2$ است اما پایه نیست. ۵. لیست $((1, 1, 0), (0, 0, 1))$ پایه‌ای از $\mathbb{F}^3$ نیست. ۶. لیست $(1, z, z^2, \dots, z^m)$ یک پایه از $\mathcal{P}_m(\mathbb{F})$ است.

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

فرض کنید $U$ زیرفضایی از $\mathbb{R}^5$ باشد که با معادلات زیر تعریف می‌شود:

U = ig\{ (x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) \in \mathbb{R}^5 : x_1 = 3x_2 ext{ و } x_3 = 7x_4 ig\}

الف) یک پایه برای $U$ پیدا کنید. ب) پایه به دست آمده در (الف) را به یک پایه برای $\mathbb{R}^5$ گسترش دهید. ج) یک زیرفضای $W$ از $\mathbb{R}^5$ پیدا کنید به طوری که $\mathbb{R}^5 = U \oplus W$.

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

فرض کنید $U$ زیرفضایی از $\mathbb{C}^5$ باشد که به صورت زیر تعریف می‌شود:

$$U = \big\{ (z_1, z_2, z_3, z_4, z_5) \in \mathbb{C}^5 : 6z_1 = z_2 \text{ و } z_3 + 2z_4 + 3z_5 = 0 \big\}$$

الف) یک پایه برای $U$ پیدا کنید. ب) پایه به دست آمده در (الف) را به یک پایه برای $\mathbb{C}^5$ گسترش دهید. ج) یک زیرفضای $W$ از $\mathbb{C}^5$ پیدا کنید به طوری که $\mathbb{C}^5 = U \oplus W$.

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

فرض کنید $V$ با بعد متناهی باشد و $U, W$ زیرفضاهایی از $V$ باشند به طوری که $V = U + W$. ثابت کنید یک پایه از $V$ متشکل از بردارهای $U \cup W$ وجود دارد.

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

اثبات یا ارائه یک مثال نقض: اگر $p_0, p_1, p_2, p_3$ یک لیست در $\mathcal{P}_3(\mathbb{F})$ باشد به طوری که هیچ یک از چندجمله‌ای‌های $p_0, p_1, p_2, p_3$ درجه ۲ نداشته باشند، آنگاه $p_0, p_1, p_2, p_3$ یک پایه از $\mathcal{P}_3(\mathbb{F})$ نیست.

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

فرض کنید $v_1, v_2, v_3, v_4$ یک پایه از $V$ است. ثابت کنید که:

$$v_1 + v_2, \; v_2 + v_3, \; v_3 + v_4, \; v_4$$

نیز یک پایه از $V$ است.

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

اثبات یا ارائه یک مثال نقض: اگر $v_1, v_2, v_3, v_4$ یک پایه از $V$ باشد و $U$ زیرفضایی از $V$ باشد به طوری که:

$$v_1, v_2 \in U \quad \text{و} \quad v_3 \notin U \quad \text{و} \quad v_4 \notin U$$

آنگاه $v_1, v_2$ یک پایه از $U$ است.

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

فرض کنید $v_1, \dots, v_m$ یک لیست از بردارها در $V$ باشد. برای هر $k \in \{1, \dots, m\}$ فرض کنید:

$$w_k = v_1 + \dots + v_k$$

نشان دهید $v_1, \dots, v_m$ یک پایه از $V$ است اگر و فقط اگر $w_1, \dots, w_m$ یک پایه از $V$ باشد.

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

فرض کنید $U$ و $W$ زیرفضاهایی از $V$ باشند به طوری که $V = U \oplus W$. همچنین فرض کنید $u_1, \dots, u_m$ یک پایه از $U$ و $w_1, \dots, w_n$ یک پایه از $W$ است. ثابت کنید:

$$u_1, \dots, u_m, w_1, \dots, w_n$$

یک پایه از $V$ است.

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

فرض کنید $V$ یک فضای برداری حقیقی باشد. نشان دهید اگر $v_1, \dots, v_n$ یک پایه از $V$ (به عنوان یک فضای برداری حقیقی) باشد، آنگاه $v_1, \dots, v_n$ همچنین یک پایه از مختلط‌سازی $V_{\mathbb{C}}$ (به عنوان یک فضای برداری مختلط) است.

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

نشان دهید زیرفضاهای $\mathbb{R}^2$ دقیقاً عبارتند از: ۱. زیرفضای صفر $\{0\}$ ۲. همه خطوط در $\mathbb{R}^2$ که از مبدأ می‌گذرند. ۳. کل فضای $\mathbb{R}^2$.

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

نشان دهید زیرفضاهای $\mathbb{R}^3$ دقیقاً عبارتند از: ۱. زیرفضای صفر $\{0\}$ ۲. همه خطوط در $\mathbb{R}^3$ که از مبدأ می‌گذرند. ۳. همه صفحات در $\mathbb{R}^3$ که از مبدأ می‌گذرند. ۴. کل فضای $\mathbb{R}^3$.

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

فرض کنید:

$$U = \big\{ p \in \mathcal{P}_4(\mathbb{F}) : p(6) = 0 \big\}$$

الف) یک پایه برای $U$ پیدا کنید. ب) پایه در (الف) را به یک پایه از $\mathcal{P}_4(\mathbb{F})$ گسترش دهید. ج) یک زیرفضای $W$ از $\mathcal{P}_4(\mathbb{F})$ پیدا کنید به طوری که $\mathcal{P}_4(\mathbb{F}) = U \oplus W$.

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

فرض کنید:

$$U = \big\{ p \in \mathcal{P}_4(\mathbb{R}) : p''(6) = 0 \big\}$$

الف) یک پایه برای $U$ پیدا کنید. ب) پایه در (الف) را به یک پایه از $\mathcal{P}_4(\mathbb{R})$ گسترش دهید. ج) یک زیرفضای $W$ از $\mathcal{P}_4(\mathbb{R})$ پیدا کنید به طوری که $\mathcal{P}_4(\mathbb{R}) = U \oplus W$.

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

فرض کنید:

$$U = \big\{ p \in \mathcal{P}_4(\mathbb{F}) : p(2) = p(5) \big\}$$

الف) یک پایه برای $U$ پیدا کنید. ب) پایه در (الف) را به یک پایه از $\mathcal{P}_4(\mathbb{F})$ گسترش دهید. ج) یک زیرفضای $W$ از $\mathcal{P}_4(\mathbb{F})$ پیدا کنید به طوری که $\mathcal{P}_4(\mathbb{F}) = U \oplus W$.

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

فرض کنید:

$$U = \big\{ p \in \mathcal{P}_4(\mathbb{F}) : p(2) = p(5) = p(6) \big\}$$

الف) یک پایه برای $U$ پیدا کنید. ب) پایه در (الف) را به یک پایه از $\mathcal{P}_4(\mathbb{F})$ گسترش دهید. ج) یک زیرفضای $W$ از $\mathcal{P}_4(\mathbb{F})$ پیدا کنید به طوری که $\mathcal{P}_4(\mathbb{F}) = U \oplus W$.

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

فرض کنید:

$$U = \left\{ p \in \mathcal{P}_4(\mathbb{R}) : \int_{-1}^1 p(x) \, dx = 0 \right\}$$

الف) یک پایه برای $U$ پیدا کنید. ب) پایه در (الف) را به یک پایه از $\mathcal{P}_4(\mathbb{R})$ گسترش دهید. ج) یک زیرفضای $W$ از $\mathcal{P}_4(\mathbb{R})$ پیدا کنید به طوری که $\mathcal{P}_4(\mathbb{R}) = U \oplus W$.

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

فرض کنید $v_1, \dots, v_m$ در $V$ مستقل خطی است و $w \in V$. ثابت کنید:

$$\dim \operatorname{span}(v_1 + w, \dots, v_m + w) \ge m - 1$$

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

فرض کنید $m$ یک عدد صحیح مثبت است و $p_0, p_1, \dots, p_m \in \mathcal{P}(\mathbb{F})$ به طوری که هر $p_k$ دارای درجه $k$ است. ثابت کنید $p_0, p_1, \dots, p_m$ یک پایه از $\mathcal{P}_m(\mathbb{F})$ است.

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

فرض کنید $m$ یک عدد صحیح مثبت است. برای هر $0 \le k \le m$ فرض کنید:

$$p_k(x) = x^k (1 - x)^{m - k}$$

نشان دهید $p_0, p_1, \dots, p_m$ یک پایه از $\mathcal{P}_m(\mathbb{F})$ است.

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

فرض کنید $U$ و $W$ هر دو زیرفضاهای چهاربعدی از $\mathbb{C}^6$ هستند. ثابت کنید دو بردار در $U \cap W$ وجود دارند به طوری که هیچ یک از این بردارها مضرب اسکالر دیگری نیست.

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

فرض کنید $U$ و $W$ زیرفضاهایی از $\mathbb{R}^8$ باشند به طوری که:

$$\dim U = 3, \quad \dim W = 5, \quad U + W = \mathbb{R}^8$$

ثابت کنید:

$$\mathbb{R}^8 = U \oplus W$$

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

فرض کنید $U$ و $W$ هر دو زیرفضاهای پنج‌بعدی از $\mathbb{R}^9$ هستند. ثابت کنید:

$$U \cap W \neq \{0\}$$

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

فرض کنید $V$ یک فضای برداری ده‌بعدی است و $V_1, V_2, V_3$ زیرفضاهایی از $V$ با بعدهای زیر هستند:

$$\dim V_1 = \dim V_2 = \dim V_3 = 7$$

ثابت کنید:

$$V_1 \cap V_2 \cap V_3 \neq \{0\}$$

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

فرض کنید $V$ با بعد متناهی و $V_1, V_2, V_3$ زیرفضاهایی از $V$ با شرط زیر باشند:

$$\dim V_1 + \dim V_2 + \dim V_3 > 2 \dim V$$

ثابت کنید:

$$V_1 \cap V_2 \cap V_3 \neq \{0\}$$

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

فرض کنید $V$ با بعد متناهی و $U$ یک زیرفضای $V$ با $U \neq V$ است. فرض کنید $n = \dim V$ و $m = \dim U$. ثابت کنید $n - m$ زیرفضا از $V$ وجود دارند، هر کدام با بعد $n - 1$ (ابرصفحه)، که اشتراک آن‌ها برابر با $U$ است.

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

فرض کنید $V_1, \dots, V_m$ زیرفضاهای با بعد متناهی از $V$ هستند. ثابت کنید $V_1 + \dots + V_m$ با بعد متناهی است و:

$$\dim(V_1 + \dots + V_m) \le \dim V_1 + \dots + \dim V_m$$

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

فرض کنید $V$ با بعد متناهی است، با $\dim V = n \ge 1$. ثابت کنید زیرفضاهای یک‌بعدی $V_1, \dots, V_n$ از $V$ وجود دارند به طوری که:

$$V = V_1 \oplus \dots \oplus V_n$$

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

توضیح دهید چرا ممکن است حدس بزنید، با انگیزه از قیاس با فرمول تعداد عناصر در اجتماع سه مجموعه متناهی، که اگر $V_1, V_2, V_3$ زیرفضاهای یک فضای با بعد متناهی باشند، آنگاه:

$$\dim(V_1 + V_2 + V_3) = \dim V_1 + \dim V_2 + \dim V_3 - \dim(V_1 \cap V_2) - \dim(V_1 \cap V_3) - \dim(V_2 \cap V_3) + \dim(V_1 \cap V_2 \cap V_3)$$

سپس یا فرمول بالا را اثبات کنید یا یک مثال نقض ارائه دهید.