ثابت کنید یا یک مثال نقض بیاورید: اگر $U$ یک زیرمجموعه‌ی ناتهی از $\mathbb{R}^2$ باشد به طوری که $U$ تحت جمع و تحت گرفتن وارون جمعی بسته باشد (یعنی $-u \in U$ هرگاه $u \in U$)، آنگاه $U$ یک زیرفضا از $\mathbb{R}^2$ است.

پاسخ: این گزاره نادرست است. مثال نقض زیر ادعا را رد می‌کند:

گام اول: تعریف مجموعه مثال نقض مجموعه تمام نقاط با مختصات صحیح را در نظر بگیرید:

گام دوم: بررسی برقراری فرضیات مسئله برای $U$ ۱. ناتهی بودن: نقطه مبدا $(0, 0) \in \mathbb{Z}^2$ است، پس $U \neq \emptyset$. ۲. بسته بودن تحت جمع: اگر $u = (x_1, y_1) \in \mathbb{Z}^2$ و $v = (x_2, y_2) \in \mathbb{Z}^2$ باشند، چون مجموع دو عدد صحیح همواره عددی صحیح است:

۳. بسته بودن تحت وارون جمعی: اگر $u = (x, y) \in \mathbb{Z}^2$ باشد، قرینه یک عدد صحیح نیز صحیح است:

بنابراین تمام فرضیات صورت مسئله برای $U = \mathbb{Z}^2$ برقرار است.

گام سوم: نشان دادن نقض زیرفضا بودن (عدم بستگی تحت ضرب اسکالر) طبق تعریف زیرفضا، باید به ازای هر اسکالر حقیقی $c \in \mathbb{R}$، حاصل ضرب $cu$ در $U$ باشد. اسکالر حقیقی $c = \frac{1}{2} \in \mathbb{R}$ و بردار $u = (1, 0) \in U$ را انتخاب می‌کنیم:

چون $\frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}$، بردار حاصل به $U$ تعلق ندارد:

نتیجه‌گیری: مجموعه $U$ تحت ضرب اسکالر بسته نیست، بنابراین یک زیرفضا از $\mathbb{R}^2$ نمی‌باشد. حکم کلی مسئله رد شد. $\blacksquare$

• توجه کنید که بستگی تحت جمع و وارون، تضمین می‌کند که مجموعه تحت ضرب در اسکالرهای صحیح ($c \in \mathbb{Z}$) بسته است: $$n u = u + u + \dots + u \in U$$ اما تضمین نمی‌کند که تحت تمام اسکالرهای میدان حقیقی ($c \in \mathbb{R}$) بسته باشد. مفهوم زیرفضا نیازمند پایداری در برابر تمام اسکالرهای میدان است.