رفتن به متن
باغ ریاضی
تعریف ۳۱.۱ زیرفضا (Subspace)
تنظیمات مطالعه
تنظیمات مطالعه

تعریف ۳۱.۱ زیرفضا (Subspace)

#تعریف#مفهوم#زیرفضا#فصل_۱#جبر_خطینسخهٔ رسمی

یادداشت شما ذخیره شد

می‌خواهید این تغییرات برای مدیر وب‌سایت هم ارسال شوند؟ نسخهٔ رسمی تنها پس از تأیید تغییر می‌کند.

تعریف ۳۱.۱: زیرفضا (Subspace)

چکیده مفهومی

یک زیرفضا، جهان ریاضی کوچکتری است که درون یک فضای برداری بزرگتر زندگی می‌کند؛ به شرطی که خودش با همان قوانین جمع و ضرب اسکالر فضای مادر، یک فضای برداری مستقل و خودکفا باشد و مبدا مختصات را در خود داشته باشد.

۱. درک شهودی و هندسی

تصور کنید در فضای سه‌بعدی اتاق خود (R3\mathbb{R}^3) ایستاده‌اید. اگر یک ورق کاغذ نامتناهی تخت را در نظر بگیرید که دقیقاً از مبدا مختصات (گوشه اتاق: (0,0,0)(0,0,0)) عبور می‌کند:

  1. هر دو برداری که روی این صفحه قرار دارند را جمع کنید، بردار حاصل همچنان روی همین صفحه باقی می‌ماند.
  2. هر برداری روی این صفحه را در هر عددی ضرب (کشیده، فشرده یا معکوس) کنید، از صفحه بیرون نمی‌زند.
  3. بردار صفر درون آن قرار دارد.

این صفحه یک «جهان دوبعدی مستقل» درون جهان سه‌بعدی است. اما اگر همین صفحه را به اندازه ۱ سانتی‌متر به بالا بلغزانید تا از مبدا عبور نکند، بردار صفر از آن حذف شده و با ضرب در اسکالر صفر از صفحه خارج می‌شوید! بنابراین زیرفضا نخواهد بود.

۲. متن رسمی ریاضی (کتاب آکسلر)

تعریف ۳۱.۱ آکسلر (زیرفضا - Subspace)

فرض کنید VV یک فضای برداری روی میدان F\mathbb{F} باشد. یک زیرمجموعه UU از VV را زیرفضا (Subspace) از VV می‌نامیم اگر UU خودش با همان عملیات جمع، ضرب اسکالر و همانی جمعی تعریف‌شده روی VV، یک فضای برداری باشد.

گاهی در ادبیات ریاضی به آن زیرفضای خطی (Linear Subspace) نیز می‌گویند.

۳. کالبدشکافی شرایط و شروط ریاضی

برای اینکه یک زیرمجموعه U⊆VU \subseteq V زیرفضا باشد، در نگاه اول باید تمام ۱۰ اصل موضوعه فضای برداری را داشته باشد:

  • اشتراک در عملگرها: عملیات جمع برداری و ضرب اسکالر در UU دقیقاً همان عملیات موجود در VV هستند (عملیات القاشده).
  • حفظ عضو خنثی: بردار صفر UU باید همان بردار صفر VV باشد (0U=0V\mathbf{0}_U = \mathbf{0}_V).
  • پایداری جبری: زیرفضا نباید اجازه دهد بردارها از مرزهای آن «فرار» کنند (بسته بودن).
چرا نیازی به بررسی تک‌تک ۱۰ اصل موضوعه نیست؟

خواصی مانند جابه‌جایی جمع (u+v=v+uu+v = v+u)، شرکت‌پذیری و خاصیت پخشی، برای تمام اعضای فضای بزرگتر VV برقرار هستند؛ بنابراین برای اعضای UU نیز به صورت ارثی برقرار خواهند بود. آزمون ساده‌تر در قضیه ۳۲.۱ ارائه شده است.

۴. تجسم هندسی تعاملی جئوجبرا (خط گذرنده از مبدا در برابر خط جابه‌جاشده)

مقایسه خط گذرنده از مبدا (زیرفضا) و خط موازی غیرگذرنده از مبدا (غیرزیرفضا) در R2
  • خط Line1 از مبدا (0,0) می‌گذرد. بردار u و هر مضربی از آن (مانند v = 2u) روی همین خط می‌مانند. این یک زیرفضا است.
  • خط Line2 دارای عرض از مبدا ۲ است و از (0,0) رد نمی‌شود. بردار صفر روی آن نیست و ضرب بردار w در صفر به مبدا می‌افتد که روی خط نیست.
کد اصلی رسم
appName: classic
width: 700
height: 380
showToolBar: false
showAlgebraInput: true
showMenuBar: false
commands:
  - "O = (0, 0)"
  - "Pt1 = (2, 1)"
  - "Line1 : Line(O, Pt1)"
  - "Pt2 = (0, 2)"
  - "Pt3 = (2, 3)"
  - "Line2 : Line(Pt2, Pt3)"
  - "Pt4 = (2, 1)"
  - "u = Vector(O, Pt4)"
  - "Pt5 = (4, 2)"
  - "v = Vector(O, Pt5)"
  - "Pt6 = (0, 2)"
  - "Pt7 = (2, 3)"
  - "w = Vector(Pt6, Pt7)"
  - "Origin = Point({0, 0})"
caption: "مقایسه خط گذرنده از مبدا (زیرفضا) و خط موازی غیرگذرنده از مبدا (غیرزیرفضا) در R2"
explain:
  - "خط Line1 از مبدا (0,0) می‌گذرد. بردار u و هر مضربی از آن (مانند v = 2u) روی همین خط می‌مانند. این یک زیرفضا است."
  - "خط Line2 دارای عرض از مبدا ۲ است و از (0,0) رد نمی‌شود. بردار صفر روی آن نیست و ضرب بردار w در صفر به مبدا می‌افتد که روی خط نیست."

۵. مثال‌ها و غیرمثال‌ها (Examples & Non-Examples)

دو زیرفضای بدیهی (Trivial Subspaces)

در هر فضای برداری VV: ۱. مجموعه تک‌عضوی شامل بردار صفر {0}\{\mathbf{0}\}، کوچکترین زیرفضای ممکن است (زیرفضای صفر). ۲. خود فضای VV، بزرگترین زیرفضای ممکن از خودش است.

غیرمثال‌های مهم (دام‌های مفهومی)

  • مجموعه تهی ∅\emptyset: مجموعه تهی هرگز زیرفضا نیست چون عضو خنثی جمع ندارد و فضای برداری نیست.
  • ربع اول صفحه مختصات {(x,y)∈R2:x≥0,y≥0}\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x \ge 0, y \ge 0\}: شامل (0,0)(0,0) است و تحت جمع بسته است، اما با ضرب در اسکالر منفی (مثلاً −1⋅(1,1)=(−1,−1)-1 \cdot (1, 1) = (-1, -1)) از مجموعه خارج می‌شود!

۶. پیوندهای اتمیک

پیوندهای این یادداشت ۵

یادداشت‌هایی که از این صفحه به آن‌ها پیوند داده شده است.

  • قضیه ۳۲.۱ شرایط سه‌گانه زیرفضا بودن
    پیش‌نمایش

    قضیه ۳۲.۱: شرایط سه‌گانه زیرفضا بودن (آزمون سریع زیرفضا)

    پیام کلیدی قضیه در یک جمله

    برای بررسی اینکه آیا یک زیرمجموعه یک زیرفضاست یا خیر، لازم نیست تمام ۱۰ اصل موضوعه فضای برداری را چک کنید؛ فقط کافی است سه شرط را بسنجید: داشتن بردار صفر، بسته بودن نسبت به جمع، و بسته بودن نسبت به ضرب اسکالر.

  • تعریف ۲۰.۱ فضای برداری
    پیش‌نمایش

    تعریف ۲۰.۱: فضای برداری (Vector Space)

    چکیده مفهومی به زبان ساده

    یک «فضای برداری» زمینی حاصل‌خیز برای محاسبات جبری است؛ مجموعه‌ای از اشیاء (به نام بردار) همراه با دو عمل جمع و ضرب اسکالر، که قوانین حساب و کتاب دبیرستانی (مانند جابه‌جایی، شرکت‌پذیری، پخش‌شدن ضرب روی جمع، وجود بردار صفر و عضو قرینه) دقیقاً و موبه‌مو در آن برقرار است.

  • نماد ۱۵.۱ بردار صفر در Fn
    پیش‌نمایش

    نماد ۱۵.۱: تعریف بردار صفر 00 در Fn\mathbb{F}^n (The Zero Vector in F^n)

    چکیده مفهومی

    نماد 00 برای معرفی برداری در Fn\mathbb{F}^n به کار می‌رود که تمام nn مؤلفه آن برابر عدد صفر هستند؛ این بردار، عضو همانی (خنثای) عمل جمع در فضای برداری است.

  • مثال ۳۳.۱ زیرفضاهای R2 و R3
    پیش‌نمایش

    مثال ۳۳.۱: زیرفضاهای R2\mathbb{R}^2 و R3\mathbb{R}^3

    هندسه کامل زیرفضاها در ابعاد ۲ و ۳

    در دنیای هندسی اقلیدسی، زیرفضاها تنها و تنها اشیای مسطحی هستند که از مبدا مختصات عبور می‌کنند:

    • در R2\mathbb{R}^2: فقط نقطه مبدا، خطوط راست گذرنده از مبدا، و کل صفحه R2\mathbb{R}^2.
    • در R3\mathbb{R}^3: فقط نقطه مبدا، خطوط راست گذرنده از مبدا، صفحات تخت گذرنده از مبدا، و کل فضا R3\mathbb{R}^3.
  • MOC فصل ۱ - فضاهای برداری
    پیش‌نمایش

    📘 نقشه راه فصل اول: فضاهای برداری (Vector Spaces)

    ستون فقرات جبر خطی

    فصل اول آکسلر مفهوم «بردار» را از پیکان‌های فیزیکی دبیرستان آزاد کرده و به یک ساختار جبری فراگیر تبدیل می‌کند. این فصل به سه بخش اصلی تقسیم می‌شود: ۱. بخش ۱.۱ (Rn\mathbb{R}^n و Cn\mathbb{C}^n): ساختن زمینه اسکالرها و فضاهای مختصاتی. ۲. بخش ۲.۱ (فضای برداری): تعریف اصل موضوعی و خواص بنیادین. ۳. بخش ۳.۱ (زیرفضاها و جمع مستقیم): نحوه تجزیه فضاها به بخش‌های ساده‌تر.

ارجاعات به این یادداشت ۲۷

یادداشت‌هایی که به این صفحه پیوند داده‌اند.

نمایش ۲۲ مورد دیگرنمایش کمتر

حالت ارائه