در دنیای هندسه و فیزیک دبیرستان، بردار یک «پیکان جهت‌دار» است که یک جابه‌جایی را با طول (اندازه) و راستا مشخص می‌کند؛ جمع بردارها با اتصال سر پیکان اول به ته پیکان دوم (قانون مثلث و متوازی‌الاضلاع) تعبیر می‌شود و ضرب اسکالر یعنی کشیدن، فشردن یا برعکس کردن جهت پیکان.

فرض کنید $v = (x, y) \in \mathbb{R}^2$ برداری در صفحه باشد: ۱. طول یا نرم (Length / Norm): به کمک قضیه فیثاغورس:

در فضای ۳ بعدی برای $v = (x, y, z) \in \mathbb{R}^3$:

۲. زاویه یا جهت (Direction): زاویه‌ای که بردار با محور مثبت $x$ می‌سازد:

۱. قانون مثلث (سر به ته - Head-to-Tail): برای جمع دو بردار $u$ و $v$، ابتدای بردار دوم ($v$) را روی انتهای بردار اول ($u$) قرار می‌دهیم. بردار حاصل‌جمع $u + v$ برداری است که از ابتدای $u$ به انتهای $v$ وصل می‌شود.

۲. قانون متوازی‌الاضلاع (Parallelogram Law): اگر مبدأ هر دو بردار $u$ و $v$ را در یک نقطه مشترک قرار دهیم، این دو بردار دو ضلع یک متوازی‌الاضلاع را می‌سازند. قطر این متوازی‌الاضلاع که از مبدأ مشترک خارج می‌شود، بردار $u + v$ است.

اگر بردار $v$ در عدد حقیقی $c \in \mathbb{R}$ ضرب شود:

• طول بردار جدید برابر $|c| \cdot \|v\|$ می‌شود.
• اگر $c > 0$ باشد، جهت بردار دست‌نخورده باقی می‌ماند (فقط کشیده یا فشرده می‌شود).
• اگر $c < 0$ باشد، جهت بردار ۱۸۰ درجه برعکس می‌شود.
• اگر $c = 0$ باشد، تبدیل به نقطه صفر (بردار صفر با طول صفر) می‌شود.

دو بردار $u = (4, 1)$ و $v = (-1, 3)$ را در نظر بگیرید:

حل تحلیلی:

طول بردار حاصل:

تعبیر هندسی با گام‌های متوازی‌الاضلاع: ۱. بردار $u$ را از مبدأ $(0,0)$ تا نقطه $(4, 1)$ رسم کنید. ۲. بردار $v$ را از مبدأ $(0,0)$ تا نقطه $(-1, 3)$ رسم کنید. ۳. از انتهای $u$ خطی موازی و هم‌اندازه با $v$ رسم کنید (می‌رسید به نقطه $(4-1, 1+3) = (3, 4)$). ۴. بردار قطر متوازی‌الاضلاع دقیقاً به نقطه $(3, 4)$ با طول ۵ می‌رسد.

در مدل زیر، جمع برداری $u + v$ و ضرب اسکالر به تصویر کشیده شده است:

appName: graphing
width: 700
height: 380
commands:
  - "u = Vector((0, 0), (4, 1))"
  - "v = Vector((0, 0), (-1, 3))"
  - "w = u + v"
  - "v_trans = Vector((4, 1), (3, 4))"
  - "c = 1.5"
  - "cu = c * u"
caption: "جمع برداری u + v به قاعده متوازی‌الأضلاع و ضرب اسکالر c * u در R^2"
explain:
  - "بردار u از مبدأ تا (4, 1) و بردار v از مبدأ تا (-1, 3) رسم شده‌اند."
  - "بردار برآیند w = u + v با انتقال v به انتهای u به نقطه (3, 4) می‌رسد."
  - "بردار مقیاس‌یافته cu بر روی خط امتداد u (اسپن u) قرار می‌گیرد."

بردار $c \cdot u$ همواره روی خط راست گذرنده از $u$ می‌لغزد؛ این خط همان $\operatorname{span}(u)$ است!

• اشتباه ۱: تصور اینکه هر خط راستی در صفحه یک زیرفضا است: تنها خطوطی که از مبدأ مختصات $(0, 0)$ عبور می‌کنند زیرفضای برداری هستند! خطی مانند $y = 2x + 1$ چون شامل بردار صفر نیست، زیرفضا به حساب نمی‌آید (شرط وجود عضو خنثی جمع نقض می‌شود).
• اشتباه ۲: خلط نقطه با بردار: نقطه یک موقعیت مکانی ایستا است، اما بردار یک جهت و مقدار جابه‌جایی است. اگرچه در $\mathbb{R}^n$ ما هر بردار مکان را با مختصات نقطه‌اش یکی می‌گیریم، اما از نظر مفهومی بردار قابلیت انتقال آزاد دارد.
• اشتباه ۳: محدود ماندن به ۳ بعد: هندسه پیکانی در ابعاد ۱، ۲ و ۳ ابزار بسیار قدرتمندی برای شروع است؛ اما نباید مانع از این شود که درک کنید در $\mathbb{R}^4$ یا فضای توابع، دیگر پیکانی برای دیدن با چشم وجود ندارد و تنها خواص جبری حاکم هستند.