یک $n$-تایی مرتب (یا «لیست» به زبان شلدون آکسلر) دنباله‌ای منظم از اشیاء است که در آن «ترتیب قرارگیری» و «تکرار عناصر» اهمیت حیاتی دارند؛ بر خلاف مجموعه‌ها، جابه‌جا کردن یا حذف عناصر تکراری یک لیست، هویت آن را کاملاً تغییر می‌دهد.

در دنیای هندسه و فیزیک دبیرستان، بردار یک «پیکان جهت‌دار» است که یک جابه‌جایی را با طول (اندازه) و راستا مشخص می‌کند؛ جمع بردارها با اتصال سر پیکان اول به ته پیکان دوم (قانون مثلث و متوازی‌الاضلاع) تعبیر می‌شود و ضرب اسکالر یعنی کشیدن، فشردن یا برعکس کردن جهت پیکان.

چندجمله‌ای‌ها ترکیب‌های ساده‌ای از توان‌های یک متغیر با ضرایب عددی هستند که خود یک فضای برداری بسیار مهم را می‌سازند؛ و «قضیه اساسی جبر» وعده می‌دهد که در دنیای اعداد مختلط، هیچ معادله چندجمله‌ای بی‌جواب نمی‌ماند و هر چندجمله‌ای درجه $m$ دقیقاً به $m$ عامل خطی درجه اول تجزیه می‌شود.

نماد سیگما ($\sum$) یک علامت اختصاری فشرده و هوشمند برای نوشتن جمع‌های طولانی است؛ و «ترکیب خطی» شاه‌کلید تمام جبر خطی است که می‌گوید با ضرب کردن چند بردار در ضرایب عددی دلخواه و جمع کردن آن‌ها، چه بردارهای جدیدی می‌توان خلق کرد.

اصل استقرای ریاضی شبیه چیدن ردیفی از مهره‌های دومینو است؛ اگر مطمئن شوید مهره اول می‌افتد (پایه) و افتادن هر مهره تضمین کند مهره بعدی هم خواهد افتاد (گام استقرا)، آنگاه تمامی مهره‌ها تا بی‌نهایت فرو خواهند ریخت؛ در جبر خطی از این تکنیک برای اثبات قضایا روی «طول لیست بردارها» یا «بُعد فضا» استفاده می‌شود.

یک دستگاه معادلات خطی مجموعه‌ای از شرایط همزمان است که هندسه تقاطع خطوط و صفحات را توصیف می‌کند؛ روش حذفی گاوس ابزار مکانیکی قدرتمندی است که با استفاده از عملیات جبری سطری، مجهول‌ها را یکی پس از دیگری خلع سلاح کرده و به ما می‌گوید آیا بردارها مستقل‌اند یا به هم وابسته‌اند.