تعریف ۴.۲: گستره (Span)

۱. درک شهودی و فیزیکی/هندسی

تصور کنید شما چند بردار به عنوان جهت‌های حرکت در فضا در اختیار دارید:

• اگر فقط یک بردار ناصفر داشته باشید، ضرب آن در اسکالرهای مختلف یک خط مستقیم گذرنده از مبدا را می‌سازد.
• اگر دو بردار غیر هم‌خط داشته باشید، تمام ترکیب‌های خطی آن‌ها یک صفحه دو بعدی گذرنده از مبدا را پر می‌کنند.
• اگر سه بردار غیر هم‌صفحه داشته باشید، کل فضای سه بعدی را پوشش می‌دهند. این خط، صفحه یا فضا، همان گستره (Span) نام دارد. گستره، هندسه کاملِ تمام نقاط در دسترس است.

۲. متن رسمی ریاضی (کتاب آکسلر)

۳. کالبدشکافی شرایط و ویژگی‌ها

• نمادگذاری و معادل‌های فارسی: در منابع فارسی علاوه بر «گستره»، از واژه‌های «پوشش خطی» و واژه انگلیسی «اسپن (Span)» استفاده می‌شود.
• تفاوت ترکیب خطی و گستره:
  • یک ترکیب خطی، یک بردار تکی است ($u = a_1 v_1 + \dots + a_m v_m$).
  • گستره، مجموعه‌ای از تمام این بردارها است.
• حالت‌های خاص و رفتارهای مرزی:
  • $\operatorname{span}(0) = \{0\}$
  • $\operatorname{span}(v) = \{a v : a \in \mathbb{F}\}$ (خط گذرا از مبدا اگر $v \neq 0$)
  • $\operatorname{span}() = \{0\}$ (قرارداد استاندارد برای سازگاری تمام قضایای بعد)

۴. تعبیر هندسی با مدل جئوجبرا

appName: 3d
width: 700
height: 450
showToolBar: false
showAlgebraInput: true
showMenuBar: false
commands:
  - "Pt1 = (0,0,0)"
  - "Pt2 = (2, 0, 1)"
  - "v1 = Vector(Pt1, Pt2)"
  - "Pt3 = (0,0,0)"
  - "Pt4 = (0, 2, 1)"
  - "v2 = Vector(Pt3, Pt4)"
  - "plane = Plane((0,0,0), (2,0,1), (0,2,1))"
caption: "تجسم هندسی گستره دو بردار به عنوان صفحه‌ای گذرنده از مبدا"
explain:
  - "بردارهای v1 و v2 صفحه خاکستری را اسپن می‌کنند."
  - "هر بردار روی این صفحه، متعلق به span(v1, v2) است."

۵. دام‌های امتحانی

۶. ارتباطات و پیوندهای اتمیک

• پیش‌نیاز: تعریف ۲.۲: ترکیب خطی
• قضیه ساختاری: قضیه ۶.۲: گستره کوچکترین زیرفضای شامل لیست است
• کاربرد در مولد بودن: تعریف ۷.۲: گسترش دادن فضا