صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر، تمرین‌های ۱، ۲ و ۳ بخش ۱.۲)

بخش الف (یافتن مجموعه مولد با اندازه مشخص): یک لیست از چهار بردار متمایز در $\mathbb{F}^3$ بیابید که گستره (Span) آن دقیقاً برابر با زیرفضای زیر باشد:

$$U = \big\{ (x, y, z) \in \mathbb{F}^3 : x + y + z = 0 \big\}$$

بخش ب (حفظ گستره تحت تبدیلات تفاضلی): فرض کنید لیست $v_1, v_2, v_3, v_4$ فضای برداری $V$ را گسترش دهد (Span کند). اثبات کنید یا با مثال نقض نشان دهید که آیا لیست زیر نیز حتماً $V$ را گسترش می‌دهد؟

$$v_1 - v_2, \; v_2 - v_3, \; v_3 - v_4, \; v_4$$

بخش ج (مجموع‌های تجمعی): فرض کنید $v_1, \dots, v_m \in V$ و برای هر $k \in \{1, \dots, m\}$ بردار $w_k$ به صورت $w_k = v_1 + \dots + v_k$ تعریف شده باشد. ثابت کنید:

$$\operatorname{span}(v_1, \dots, v_m) = \operatorname{span}(w_1, \dots, w_m)$$

حل گام‌به‌گام با نگارش ریاضی استاندارد

حل بخش الف: ساخت ۴ بردار متمایز مولد برای $U$

گام اول: تحلیل پارامتری زیرفضا هر بردار $(x, y, z) \in U$ در شرط $z = -x - y$ صدق می‌کند. بنابراین:

$$(x, y, z) = (x, y, -x - y) = (x, 0, -x) + (0, y, -y) = x(1, 0, -1) + y(0, 1, -1)$$

این نشان می‌دهد که دو بردار زیر، زیرفضای $U$ را گسترش می‌دهند:

$$u_1 = (1, 0, -1), \quad u_2 = (0, 1, -1)$$

گام دوم: تولید بردارهای متمایز اضافی در $U$ برای ساختن ۴ بردار متمایز که گستره آن‌ها همان $U$ باقی بماند، دو ترکیب خطی دیگر از $u_1$ و $u_2$ انتخاب می‌کنیم:

• بردار سوم: $u_3 = u_1 + u_2 = (1, 1, -2)$. (بررسی: $1 + 1 + (-2) = 0 \implies u_3 \in U$).
• بردار چهارم: $u_4 = u_1 - u_2 = (1, -1, 0)$. (بررسی: $1 + (-1) + 0 = 0 \implies u_4 \in U$).

گام سوم: نتیجه‌گیری لیست چهار بردار متمایز عبارت است از:

$$\big( (1, 0, -1), \; (0, 1, -1), \; (1, 1, -2), \; (1, -1, 0) \big)$$

چون هر چهار بردار در $U$ هستند، گستره آن‌ها زیرمجموعه $U$ است. از طرفی چون دو بردار اول به تنهایی تمام $U$ را گسترش می‌دهند، گستره کل این لیست چهار عضوی دقیقاً برابر با $U$ است.

---

حل بخش ب: اثبات حفظ گستره تحت تفاضل‌ها

فرض کنید $V = \operatorname{span}(v_1, v_2, v_3, v_4)$. لیست جدید را نام‌گذاری می‌کنیم:

$$u_1 = v_1 - v_2, \quad u_2 = v_2 - v_3, \quad u_3 = v_3 - v_4, \quad u_4 = v_4$$

واضح است که $u_1, u_2, u_3, u_4 \in \operatorname{span}(v_1, v_2, v_3, v_4) = V$. بنابراین:

$$\operatorname{span}(u_1, u_2, u_3, u_4) \subseteq V$$

اکنون باید نشان دهیم $V \subseteq \operatorname{span}(u_1, u_2, u_3, u_4)$. کافی است نشان دهیم هر یک از بردارهای $v_1, v_2, v_3, v_4$ ترکیبی خطی از $u_1, u_2, u_3, u_4$ هستند:

1. $v_4 = u_4 \in \operatorname{span}(u_1, u_2, u_3, u_4)$
2. $v_3 = u_3 + v_4 = u_3 + u_4 \in \operatorname{span}(u_1, u_2, u_3, u_4)$
3. $v_2 = u_2 + v_3 = u_2 + u_3 + u_4 \in \operatorname{span}(u_1, u_2, u_3, u_4)$
4. $v_1 = u_1 + v_2 = u_1 + u_2 + u_3 + u_4 \in \operatorname{span}(u_1, u_2, u_3, u_4)$

چون هر چهار بردار مولد $v_1, v_2, v_3, v_4$ در $\operatorname{span}(u_1, u_2, u_3, u_4)$ قرار دارند، هر ترکیب خطی از آن‌ها نیز در گستره جدید خواهد بود:

$$V = \operatorname{span}(v_1, v_2, v_3, v_4) \subseteq \operatorname{span}(u_1, u_2, u_3, u_4)$$

از برقراری دو شمول، تساوی قطعی زیر اثبات می‌شود:

$$\operatorname{span}(v_1 - v_2, \, v_2 - v_3, \, v_3 - v_4, \, v_4) = V \quad \checkmark$$

---

حل بخش ج: تعمیم به مجموع‌های تجمعی

داریم $w_k = v_1 + \dots + v_k$ به ازای $1 \le k \le m$.

• چون هر $w_k$ یک ترکیب خطی از $v_1, \dots, v_m$ است، بدیهی است که: $$\operatorname{span}(w_1, \dots, w_m) \subseteq \operatorname{span}(v_1, \dots, v_m)$$
• برای جهت عکس، بردارهای اصلی $v_k$ را بر حسب $w_k$ بازنویسی می‌کنیم: $$v_1 = w_1$$ $$\forall k \in \{2, \dots, m\}: \quad v_k = w_k - w_{k-1}$$ بنابراین هر $v_k$ ترکیبی خطی از $w_k$ و $w_{k-1}$ است و در نتیجه: $$v_k \in \operatorname{span}(w_1, \dots, w_m) \quad (\forall k \in \{1, \dots, m\})$$ که نتیجه می‌دهد: $$\operatorname{span}(v_1, \dots, v_m) \subseteq \operatorname{span}(w_1, \dots, w_m)$$ با اثبات دو طرف، حکم کامل می‌شود: $$\operatorname{span}(v_1, \dots, v_m) = \operatorname{span}(w_1, \dots, w_m) \quad \blacksquare$$

نکات کلیدی برای جلوگیری از کسر نمره

1. اشتباه گرفتن پایه با مجموعه مولد: در بخش الف، صورت سوال یک لیست مولد خواسته است، نه یک پایه! برخی دانشجویان فکر می‌کنند چون بعد صفحه ۲ است، نمی‌توان ۴ بردار برای گستره آن نوشت! گستره می‌تواند بی‌نهایت بردار داشته باشد، تنها شرط این است که بردارهای اضافی در همان صفحه باشند.
2. یک‌طرفه بودن اثبات تساوی دو گستره: برای اثبات $\operatorname{span}(A) = \operatorname{span}(B)$، هرگز به این بسنده نکنید که بگویید «چون اعضای $B$ از ترکیب $A$ آمده‌اند پس برابرند». باید حتماً فرآیند معکوس را بنویسید؛ یعنی نشان دهید اعضای $A$ نیز با اعضای $B$ قابل ساخت هستند (ماتریس تبدیل معکوس‌پذیر است).
3. اگر آخرین بردار در بخش ب $v_4 - v_1$ می‌بود: اگر به جای $v_4$ عبارت $v_4 - v_1$ قرار داده می‌شد، حاصل جمع تمام بردارها برابر صفر می‌شد و گستره اکیداً کوچک‌تر می‌شد! وجود $v_4$ به صورت تنها، نقشی حیاتی در شکستن چرخه دارد.