رفتن به متن
باغ ریاضی
تعریف ۹.۲ فضای برداری با بعد متناهی
تنظیمات مطالعه
تنظیمات مطالعه

تعریف ۹.۲ فضای برداری با بعد متناهی

#تعریف#مفهوم#فصل_۲#جبر_خطی#بعد_متناهینسخهٔ رسمی

یادداشت شما ذخیره شد

می‌خواهید این تغییرات برای مدیر وب‌سایت هم ارسال شوند؟ نسخهٔ رسمی تنها پس از تأیید تغییر می‌کند.

تعریف ۹.۲: فضای برداری با بعد متناهی (Finite-Dimensional Vector Space)

چکیده مفهومی

یک فضای برداری «بعد-متناهی» است اگر بتوان تمام اعضای آن را با ترکیب‌های خطی یک لیست متناهی از بردارها تولید کرد. یعنی فضا توسط تعداد محدودی جهت اصلی گسترش می‌یابد.

۱. درک شهودی و تصویر کلان

چرا عنوان فصل دوم کتاب آکسلر «فضاهای برداری با بعد متناهی» است؟ زیرا جبر خطی محاسباتی و بخش عمده نظریه ساختاری ماتریس‌ها و عملگرها، در فضاهایی رخ می‌دهد که بتوان ساختار نامتناهی آن‌ها را با تعداد متناهی بردار تحت کنترل درآورد. اگر بتوانید برای یک فضای برداری لیستی متناهی مثل v1,…,vmv_1, \dots, v_m پیدا کنید به طوری که هر عضو فضا ساخته دست این mm بردار باشد، آنگاه آن فضا رام‌شده و «بعد-متناهی» است. تمام اطلاعات هندسی چنین فضایی در رفتار این تعداد محدود بردار خلاصه می‌شود.

۲. متن رسمی ریاضی (کتاب آکسلر)

تعریف ۹.۲ کتاب آکسلر

یک فضای برداری بعد-متناهی (Finite-Dimensional) نامیده می‌شود اگر برخی لیست از بردارها در آن، فضا را گسترش دهد. به بیان دیگر، VV بعد-متناهی است اگر لیستی متناهی v1,…,vm∈Vv_1, \dots, v_m \in V وجود داشته باشد به طوری که:

span⁡(v1,…,vm)=V\operatorname{span}(v_1, \dots, v_m) = V

۳. کالبدشکافی شرایط و نکات ظریف تعریف

  • یادآوری مهم در مورد کلمه «لیست»: بنا به قرارداد کتاب آکسلر در ابتدای فصل ۲، هر لیست لزوماً دارای طول متناهی است. بنابراین نیازی به تکرار قید «لیست متناهی» در تعریف نیست.
  • وجود حداقل یک لیست مولد: تعریف نمی‌گوید کدام لیست یا چه طولی؛ تنها وجود حداقل یک لیست گسترش‌دهنده کفایت می‌کند.
  • فضای برداری صفر {0}\{0\}: لیست تهی ()() فضا را اسپن می‌کند (span⁡()={0}\operatorname{span}() = \{0\})، بنابراین فضای تک‌عضوی {0}\{0\} طبق تعریف بعد-متناهی است (بعد آن صفر خواهد بود).
  • فضای Fn\mathbb{F}^n: طبق مثال ۸.۲، لیست بردارهای استاندارد با طول nn فضا را اسپن می‌کند؛ پس Fn\mathbb{F}^n برای هر عدد صحیح مثبت nn، یک فضای برداری بعد-متناهی است.

۴. مثال‌ها و پادمثال‌ها

نمونه‌های بعد-متناهی

  • فضای R2\mathbb{R}^2، R3\mathbb{R}^3 و به طور کلی Fn\mathbb{F}^n.
  • فضای ماتریس‌های m×nm \times n.
  • فضای چندجمله‌ای‌های با درجه حداکثر mm یعنی Pm(F)\mathcal{P}_m(\mathbb{F}) (معرفی در نماد ۱۲.۲).
پادمثال (فضای بعد-نامتناهی)

  • فضای تمام چندجمله‌ای‌ها P(F)\mathcal{P}(\mathbb{F}) بعد-متناهی نیست (اثبات در مثال ۱۴.۲).
  • فضای تمام توابع پیوسته C([0,1])C([0, 1]) بعد-متناهی نیست.

۵. ارتباطات و پیوندهای اتمیک

پیوندهای این یادداشت ۴

یادداشت‌هایی که از این صفحه به آن‌ها پیوند داده شده است.

  • مثال ۸.۲ لیستی که Fn را گسترش می‌دهد
    پیش‌نمایش

    مثال ۸.۲: لیستی که Fn\mathbb{F}^n را گسترش می‌دهد

    چکیده مفهومی

    با انتخاب nn بردار که هرکدام فقط در یکی از درگاه‌ها مقدار ۱ و در بقیه صفر دارند، می‌توان به سادگی هر بردار دلخواه در Fn\mathbb{F}^n را ساخت؛ پس این لیست، Fn\mathbb{F}^n را گسترش می‌دهد.

  • تعریف ۷.۲ گسترش دادن فضا (مجموعه مولد)
    پیش‌نمایش

    تعریف ۷.۲: گسترش دادن فضا (مجموعه مولد / Spanning Set)

    چکیده مفهومی

    اگر با ترکیب‌های خطی یک لیست از بردارها بتوان «تمام» بردارهای یک فضای برداری را بدون کم‌وکاست ساخت، می‌گوییم آن لیست فضا را «گسترش می‌دهد» یا «مولد» آن فضا است.

  • تعریف ۱۳.۲ فضای برداری با بعد نامتناهی
    پیش‌نمایش

    تعریف ۱۳.۲: فضای برداری با بعد نامتناهی (Infinite-Dimensional Vector Space)

    چکیده مفهومی

    فضایی که نتوان با هیچ لیست متناهی از بردارها تمام آن را پوشش داد، فضای بعد-نامتناهی نامیده می‌شود؛ یعنی ظرفیت هندسی آن از هر تعداد متناهی بردار فراتر می‌رود.

  • قضیه ۲۵.۲ بعد متناهی بودن زیرفضای یک فضای با بعد متناهی
    پیش‌نمایش

    قضیه ۲۵.۲: بعد متناهی بودن زیرفضای یک فضای با بعد متناهی

    پیام کلیدی قضیه در یک جمله

    هر تکه و زیرمجموعه خطی (زیرفضا) از یک جهان بعد-متناهی، خود لزوماً بعد-متناهی است؛ نامتناهی بودن ابعاد هرگز نمی‌تواند درون یک فضای متناهی‌البعد پنهان شده باشد.

ارجاعات به این یادداشت ۹

یادداشت‌هایی که به این صفحه پیوند داده‌اند.

نمایش ۴ مورد دیگرنمایش کمتر

حالت ارائه