یک «فضای برداری» زمینی حاصل‌خیز برای محاسبات جبری است؛ مجموعه‌ای از اشیاء (به نام بردار) همراه با دو عمل جمع و ضرب اسکالر، که قوانین حساب و کتاب دبیرستانی (مانند جابه‌جایی، شرکت‌پذیری، پخش‌شدن ضرب روی جمع، وجود بردار صفر و عضو قرینه) دقیقاً و موبه‌مو در آن برقرار است.

اگر $S$ هر مجموعه ناتهی باشد، مجموعه تمام توابع از $S$ به میدان $\mathbb{F}$ (با جمع و ضرب اسکالر نقطه‌به‌نقطه) یک فضای برداری کامل و معتبر است. چون ویژگی‌های جمع و ضرب اعداد در میدان $\mathbb{F}$ نقطه به نقطه به این توابع ارث می‌رسد!

اگر عدد صفر (اسکالر $0 \in \mathbb{F}$) را در هر برداری از فضا ضرب کنیم، حاصل حتماً و قطعاً برابر با بردار صفر ($\mathbf{0} \in V$) خواهد شد.

یک زیرفضا، جهان ریاضی کوچکتری است که درون یک فضای برداری بزرگتر زندگی می‌کند؛ به شرطی که خودش با همان قوانین جمع و ضرب اسکالر فضای مادر، یک فضای برداری مستقل و خودکفا باشد و مبدا مختصات را در خود داشته باشد.

برای بررسی اینکه آیا یک زیرمجموعه یک زیرفضاست یا خیر، لازم نیست تمام ۱۰ اصل موضوعه فضای برداری را چک کنید؛ فقط کافی است سه شرط را بسنجید: داشتن بردار صفر، بسته بودن نسبت به جمع، و بسته بودن نسبت به ضرب اسکالر.

در دنیای هندسی اقلیدسی، زیرفضاها تنها و تنها اشیای مسطحی هستند که از مبدا مختصات عبور می‌کنند:

• در $\mathbb{R}^2$: فقط نقطه مبدا، خطوط راست گذرنده از مبدا، و کل صفحه $\mathbb{R}^2$.
• در $\mathbb{R}^3$: فقط نقطه مبدا، خطوط راست گذرنده از مبدا، صفحات تخت گذرنده از مبدا، و کل فضا $\mathbb{R}^3$.

چون «اجتماع» دو زیرفضا معمولاً زیرفضا نمی‌شود، جبر خطی مفهوم جمع زیرفضاها را تعریف می‌کند: تمام بردارهایی که می‌توان با جمع زدن یک بردار از زیرفضای اول و یک بردار از زیرفضای دوم ساخت. جمع زیرفضاها معادل خطیِ «اجتماع» در نظریه مجموعه‌ها است.

جمع مستقیم، کامل‌ترین و تمیزترین حالت جمع چند زیرفضا است؛ حالتی که در آن هیچ‌گونه همپوشانی و اتلاف بُعد وجود ندارد و هر بردار فضا را می‌توان دقیقاً و فقط به یک شیوه یکتا به صورت مجموع عناصری از آن زیرفضاها تجزیه کرد. نماد آن $\oplus$ (علامت جمع احاطه‌شده با دایره) است.

تعریف جمع مستقیم می‌گوید نمایش تک‌تک بی‌نهایت بردار فضا باید یکتا باشد. این قضیه شاهکار جبر خطی است: برای اثبات جمع مستقیم بودن، نیازی به بررسی تک‌تک بردارها نیست؛ فقط و فقط کافی است یکتایی نمایش بردار صفر ($\mathbf{0}$) را بررسی کنید!

برای دقیقاً دو زیرفضا $U$ و $W$، جمع آنها جمع مستقیم است اگر و تنها اگر اشتراک آنها فقط و فقط شامل بردار صفر باشد ($U \cap W = \{\mathbf{0}\}$).

ترکیب خطی یعنی ساختن یک بردار جدید از یک لیست از بردارها، تنها با استفاده از دو عمل مجاز جبر خطی: «ضرب هر بردار در یک اسکالر» و سپس «جمع کردن همه آن‌ها با هم».

گستره یا اسپن (Span) یک لیست از بردارها، «قلمرو نفوذ» یا «تمام بردارهایی» است که می‌توان با ایجاد هرگونه ترکیب خطی از آن بردارها ساخت.

گستره هر لیست از بردارها، خود یک زیرفضای برداری معتبر است؛ و نه یک زیرفضای تصادفی، بلکه «کوچک‌ترین» زیرفضایی از کل فضا است که تک‌تک آن بردارها را در بر می‌گیرد (بستار خطی بردارها).

یک فضای برداری «بعد-متناهی» است اگر بتوان تمام اعضای آن را با ترکیب‌های خطی یک لیست متناهی از بردارها تولید کرد. یعنی فضا توسط تعداد محدودی جهت اصلی گسترش می‌یابد.

استقلال خطی یعنی هیچ برداری در لیست زاید نیست و هر بردار جهت جدیدی را به ارمغان می‌آورد؛ این ویژگی معادل آن است که بردار صفر را تنها و تنها با ضرایب کاملاً صفر بتوان ساخت، و هر بردار دیگر در گستره دارای نمایش «یکتا» باشد.

اگر یک لیست از بردارها وابسته خطی باشد، آنگاه حداقل یکی از بردارها وجود دارد که در «گستره بردارهای پیش از خود» قرار گرفته است؛ و مهم‌تر اینکه، می‌توان این بردار زاید را از لیست حذف کرد بدون اینکه ذره‌ای از گستره (Span) کل لیست کاسته شود!

در هر فضای برداری با بعد متناهی، هیچ لیست مستقل خطی نمی‌تواند طولانی‌تر از یک لیست مولد باشد:

این قضیه ضامن خوش‌تعریف بودن مفهوم «بُعد» در سراسر ریاضیات است.

یک پایه برای فضای برداری، مجموعه‌ای از بردارهاست که نه آن‌قدر کم هستند که نتوان کل فضا را با آن‌ها ساخت (مولد هستند)، و نه آن‌قدر زیادند که بردار اضافه‌ای در میان آن‌ها تلف شود (مستقل خطی هستند). پایه یعنی «حداقل تعداد بردار برای دسترسی به همه‌جا» و «سیستم مختصات بنیادین فضا».

یک فهرست از بردارها پایه است اگر و تنها اگر هر بردار فضا را بتوان به تنها یک روش یکتا به صورت ترکیب خطی از آن‌ها نمایش داد؛ مولد بودن وجود ضرایب را تضمین می‌کند و استقلال خطی یکتایی آن‌ها را.

از هر فهرست مولد در یک فضای برداری می‌توان بردارهای اضافه و هرز را با یک الگوریتم گام‌به‌گام (غربال) دور ریخت تا به یک پایه خالص و بهینه رسید.

هر مجموعه از بردارهای مستقل خطی، هر چند کوچک، می‌تواند با افزودن بردارهای مناسب تکمیل شود و یک پایه کامل برای کل فضا تشکیل دهد؛ استقلال هیچ‌گاه بن‌بست نیست.

در هر فضای برداری با بعد متناهی، برای هر زیرفضای دلخواه $U$، همواره یک زیرفضای مکمل $W$ وجود دارد به طوری که کل فضا به صورت جمع مستقیم آن‌ها تجزیه می‌شود: $V = U \oplus W$.

اگر یک فضا را با هزاران پایه متفاوت توصیف کنید، تعداد بردارها در تمام این پایه‌ها دقیقاً یکسان است؛ طول پایه یک ویژگی ذاتی و تغییرناپذیر فضا است.

بُعد یک فضای برداری با بعد متناهی، طول (تعداد اعضای) هر یک از پایه‌های آن فضا است. بعد یعنی تعداد درجات آزادی مستقل برای حرکت درون فضا.

تخفیف ۵۰ درصدی برای بررسی پایه: اگر بدانید بعد فضا $n$ است و فهرستی از $n$ بردار مستقل خطی در دست داشته باشید، نیاز به بررسی مولد بودن نیست؛ این فهرست خودبه‌خود یک پایه است!

اصل شمول و طرد در دنیای بردارها: بعد مجموع دو زیرفضا برابر است با مجموع ابعاد آن‌ها منهای بعد اشتراکشان؛ آنچه در اشتراک مشترک است را نباید دو بار شمرد.