قضیه ۳۱.۲: هر لیست مستقل خطی می‌تواند به یک پایه گسترش یابد

۱. تصویر کلان و دوگانگی بنیادین

این قضیه، دوگان (Dual) قضیه کاهش به پایه است:

• قضیه کاهش (۲۹.۲): یک لیست «بزرگ و مولد» را با حذف اضافات به پایه تبدیل می‌کند.
• قضیه گسترش (۳۱.۲): یک لیست «کوچک و مستقل» را با افزودن بردارها به پایه تبدیل می‌کند.

استراتژی اثبات فوق‌العاده هوشمندانه است: فهرست مستقل را در ابتدای یک فهرست مولد می‌نشانیم و سپس الگوریتم غربال قضیه ۲۹.۲ را روی کل آن اجرا می‌کنیم. استقلال خطی اولیه تضمین می‌کند هیچ‌یک از بردارهای اولیه ما حذف نخواهند شد!

۲. صورت دقیق ریاضی قضیه

۳. نقشه راه و استراتژی اثبات (Proof Strategy)

• داده‌ها: فهرست مستقل خطی $(u_1, \dots, u_m)$ در فضای بعد متناهی $V$.
• ایده: چون $V$ بعد متناهی است، یک فهرست مولد مانند $(w_1, \dots, w_n)$ دارد.
• الحاق: دو فهرست را به هم می‌چسبانیم: $(u_1, \dots, u_m, w_1, \dots, w_n)$. این فهرست مرکب قطعاً مولد $V$ است.
• غربال: الگوریتم کاهش قضیه ۲۹.۲ را روی فهرست مرکب اجرا می‌کنیم.
• نکته کلیدی: هیچ‌کدام از $u_i$ها حذف نمی‌شوند، زیرا مستقل خطی بودند. فقط تعدادی از $w_j$ها نگه داشته می‌شوند و بقیه حذف می‌شوند تا یک پایه حاصل گردد.

۴. اثبات دقیق گام‌به‌گام (Step-by-Step Proof)

۵. مثال کاربردی در $\mathbb{F}^3$

فرض کنید در فضای $\mathbb{R}^3$ با فهرست مستقل خطی زیر شروع می‌کنیم:

این دو بردار مضرب یکدیگر نیستند، پس مستقل خطی‌اند اما پایه $\mathbb{R}^3$ نیستند چون ۲ بردارند. برای گسترش آن‌ها به یک پایه، پایه استاندارد را به انتهای آن‌ها الحاق می‌کنیم:

• دو بردار اول حفظ می‌شوند.
• بردار سوم $(1, 0, 0)$ آیا ترکیبی از دوتای اول است؟ دستگاه را حل می‌کنیم: $$c_1(2, 3, 4) + c_2(9, 6, 8) = (1, 0, 0) \implies \begin{cases} 3c_1 + 6c_2 = 0 \implies c_1 = -2c_2 \\ 4c_1 + 8c_2 = 0 \implies 4(-2c_2) + 8c_2 = 0 \end{cases}$$ پس اگر $c_1 = -2c_2$ باشد، مؤلفه اول می‌شود $2(-2c_2) + 9c_2 = 5c_2 = 1 \implies c_2 = 1/5, c_1 = -2/5$. اما آیا $(1, 0, 0)$ در اسپن است؟ بله! با ضرایب $-2/5$ و $1/5$. پس $(1, 0, 0)$ حذف می‌شود!
• بردار بعدی $(0, 1, 0)$ را بررسی می‌کنیم. این بردار در اسپن دو بردار اول نیست! پس حفظ می‌شود.
• بدین ترتیب فهرست نهایی $((2, 3, 4), (9, 6, 8), (0, 1, 0))$ یک پایه برای $\mathbb{R}^3$ خواهد بود.

appName: 3d
width: 700
height: 450
showToolBar: false
showAlgebraInput: true
showMenuBar: false
commands:
  - "Pt1 = (0,0,0)"
  - "Pt2 = (2, 3, 4)"
  - "u1 = Vector(Pt1, Pt2)"
  - "Pt3 = (0,0,0)"
  - "Pt4 = (9, 6, 8)"
  - "u2 = Vector(Pt3, Pt4)"
  - "plane = Plane((0,0,0), (2, 3, 4), (9, 6, 8))"
  - "Pt5 = (0,0,0)"
  - "Pt6 = (0, 3, 0)"
  - "e2 = Vector(Pt5, Pt6)"
caption: "گسترش لیست مستقل به پایه: u1 و u2 صفحه را می‌سازند و بردار مستقل e2 از صفحه خارج شده و پایه R3 را کامل می‌کند"
explain:
  - "بردارهای u1 و u2 یک صفحه دو بعدی را در R3 اسپن می‌کنند."
  - "بردار e2 روی این صفحه قرار ندارد؛ بنابراین افزودن آن استقلال خطی را حفظ کرده و فضا را به سه بعد می‌رساند."
  - "نتیجه یک پایه سه‌تایی کامل برای کل R3 است."

۶. پیوندها و کاربردهای مستقیم

• کاربرد فوری: اثبات وجود متمم مستقیم برای هر زیرفضا
• کاربرد در بعد: آزمون سریع پایه بودن لیست مستقل
• فهرست مرجع: MOC فصل ۲