پیام کلیدی قضیه در یک جمله

اگر زیرفضایی از یک فضا جدا شود، بعد بخش باقی‌مانده (چه مکمل مستقیم باشد و چه فضای خارج‌قسمتی) دقیقاً برابر است با بعد فضای کل منهای بعد آن زیرفضا: $\dim W = \dim V - \dim U$.

قضیه بعد مکمل مستقیم و فضای خارج‌قسمتی

فرض کنید $V$ یک فضای برداری با بعد متناهی و $U$ یک زیرفضای $V$ باشد.

۱. بعد مکمل مستقیم: اگر $W$ هر زیرفضایی از $V$ باشد به طوری که $V = U \oplus W$، آنگاه:

$$\dim W = \dim V - \dim U$$

۲. تعداد معادلات قید (تمرین ۱۶ بخش ۳.۲): اگر $\dim V = n$ و $\dim U = m$ باشد، آنگاه $U$ را می‌توان به صورت اشتراک $n - m$ ابرصفحه ($n - m$ زیرفضای با بعد $n - 1$) نوشت.

اثبات بعد مکمل مستقیم

گام اول: فرض کنید $W$ یک مکمل مستقیم برای $U$ در $V$ باشد؛ یعنی:

$$V = U \oplus W$$

گام دوم: طبق قضیه ۴۰.۲ بعد جمع مستقیم، بعد یک جمع مستقیم برابر با مجموع ابعاد مؤلفه‌های آن است:

$$\dim V = \dim(U \oplus W) = \dim U + \dim W$$

گام سوم: با کم کردن $\dim U$ از طرفین تساوی فوق داریم:

$$\dim W = \dim V - \dim U \quad \blacksquare$$

اثبات ساختاری تمرین ۱۶ آکسلر

گام اول: فرض کنید $\dim V = n$ و $\dim U = m$ با $m < n$.

گام دوم: یک پایه $(u_1, \dots, u_m)$ برای $U$ انتخاب کنید و آن را طبق قضیه گسترش به یک پایه از $V$ بسط دهید:

$$(u_1, \dots, u_m, w_1, \dots, w_{n-m})$$

گام سوم: برای هر $j \in \{1, \dots, n-m\}$، زیرفضای $H_j$ را به صورت گستره تمام بردارهای پایه به جز $w_j$ تعریف می‌کنیم:

$$H_j = \operatorname{span}(u_1, \dots, u_m, w_1, \dots, \widehat{w_j}, \dots, w_{n-m})$$

(که علامت کلاه به معنی حذف $w_j$ است).

گام چهارم: هر یک از این $H_j$ها دارای دقیقاً $n - 1$ بردار پایه مستقل است، پس:

$$\dim H_j = n - 1$$

یعنی هر $H_j$ یک ابرصفحه در $V$ است.

گام پنجم: به وضوح تمام بردارهای $u_1, \dots, u_m$ در همه این $H_j$ها حضور دارند، بنابراین:

$$U \subseteq \bigcap_{j=1}^{n-m} H_j$$

از طرفی اگر برداری $v \in \bigcap_{j=1}^{n-m} H_j$ باشد، چون در هیچ‌یک از $H_j$ها ضریب $w_j$ نمی‌تواند غیرصفر باشد، پس ضریب تمام $w_1, \dots, w_{n-m}$ در نمایش $v$ باید صفر باشد. در نتیجه $v \in \operatorname{span}(u_1, \dots, u_m) = U$.

بنابراین:

$$U = H_1 \cap H_2 \cap \cdots \cap H_{n-m}$$

این نشان می‌دهد که هر زیرفضای با بعد $m$ در یک فضای $n$-بعدی، دقیقاً حاصل اشتراک $n - m$ ابرصفحه است. $\blacksquare$