پیام کلیدی قضیه در یک جمله

در هر فضای برداری با بعد متناهی، برای هر زیرفضای دلخواه $U$، همواره یک زیرفضای مکمل $W$ وجود دارد به طوری که کل فضا به صورت جمع مستقیم آن‌ها تجزیه می‌شود: $V = U \oplus W$.

قضیه ۳۳.۲ کتاب آکسلر

فرض کنید $V$ یک فضای برداری با بعد متناهی و $U$ یک زیرفضای $V$ باشد. آنگاه یک زیرفضای $W$ از $V$ وجود دارد به طوری که:

$$V = U \oplus W$$

اثبات کامل وجود متمم مستقیم

گام اول (پایه زیرفضا): چون $V$ با بعد متناهی است، زیرفضای $U$ نیز با بعد متناهی است. طبق قضیه ۳۰.۲، $U$ دارای یک پایه است. آن را $(u_1, \dots, u_m)$ می‌نامیم.

گام دوم (گسترش به پایه کل فضا): فهرست $(u_1, \dots, u_m)$ در $U$ مستقل خطی است، بنابراین در کل فضا $V$ نیز مستقل خطی است. بنا به قضیه گسترش ۳۱.۲، می‌توان این فهرست را به یک پایه از $V$ به شکل زیر گسترش داد:

$$(u_1, \dots, u_m, w_1, \dots, w_k)$$

گام سوم (تعریف زیرفضای کاندید $W$): زیرفضای $W$ را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

$$W = \operatorname{span}(w_1, \dots, w_k)$$

گام چهارم (اثبات $V = U + W$): فرض کنید $v \in V$ دلخواه باشد. چون فهرست الحاقی یک پایه از $V$ است، اسکالرهای $a_1, \dots, a_m, b_1, \dots, b_k \in \mathbb{F}$ وجود دارند به طوری که:

$$v = \underbrace{a_1 u_1 + \cdots + a_m u_m}_{u} + \underbrace{b_1 w_1 + \cdots + b_k w_k}_{w}$$

از آنجا که $u \in \operatorname{span}(u_1, \dots, u_m) = U$ و $w \in \operatorname{span}(w_1, \dots, w_k) = W$ است، داریم $v = u + w \in U + W$. بنابراین:

$$V = U + W$$

گام پنجم (اثبات $U \cap W = \{\mathbf{0}\}$): فرض کنید $v \in U \cap W$. چون $v \in U$ است، اسکالرهایی مانند $a_1, \dots, a_m \in \mathbb{F}$ وجود دارند که $v = a_1 u_1 + \cdots + a_m u_m$. چون $v \in W$ است، اسکالرهایی مانند $b_1, \dots, b_k \in \mathbb{F}$ وجود دارند که $v = b_1 w_1 + \cdots + b_k w_k$. با مساوی قرار دادن این دو نمایش داریم:

$$a_1 u_1 + \cdots + a_m u_m = b_1 w_1 + \cdots + b_k w_k$$

$$\implies a_1 u_1 + \cdots + a_m u_m - b_1 w_1 - \cdots - b_k w_k = \mathbf{0}$$

اما فهرست $(u_1, \dots, u_m, w_1, \dots, w_k)$ یک پایه برای $V$ است و در نتیجه مستقل خطی است. بنابراین تمام ضرایب باید صفر باشند:

$$a_1 = \cdots = a_m = b_1 = \cdots = b_k = 0$$

در نتیجه $v = \mathbf{0}$. بنابراین $U \cap W = \{\mathbf{0}\}$.

طبق شرایط جمع مستقیم، نتیجه می‌گیریم:

$$V = U \oplus W \quad \blacksquare$$

دام‌های مرگبار امتحانی

• متمم مستقیم یکتا نیست! (Non-Uniqueness of Complement): بزرگ‌ترین خطای ذهنی این است که تصور شود مانند نظریه مجموعه‌ها ($A^c$)، متمم مستقیم یک زیرفضا یکتاست. در جبر خطی، برای یک زیرفضای $U$، بی‌شمار مکمل مستقیم $W$ وجود دارد! تنها در فضاهای مجهز به ضرب داخلی (فصل ششم) است که «مکمل عمود» ($U^\perp$) یکتا می‌شود.
• متناهی‌البعد بودن فضا: در فضاهای بعد نامتناهی، گزاره همچنان درست است اما نیازمند اصل انتخاب (Axiom of Choice) است.