پیام کلیدی قضیه در یک جمله

مجموع زیرفضاها زمانی و تنها زمانی جمع مستقیم است که بعد مجموع برابر با حاصل‌جمع ابعاد تک‌تک آن‌ها باشد؛ در جمع مستقیم هیچ بعدی هدر نمی‌رود.

قضیه بعد جمع مستقیم (کتاب آکسلر، صفحه ۶۶)

فرض کنید $V$ یک فضای برداری با بعد متناهی و $V_1, \dots, V_m$ زیرفضاهای $V$ باشند.

۱. برای دو زیرفضا:

$$V_1 + V_2 = V_1 \oplus V_2 \iff \dim(V_1 + V_2) = \dim V_1 + \dim V_2$$

۲. برای $m$ زیرفضا:

$$V_1 + \cdots + V_m \text{ یک جمع مستقیم است} \iff \dim(V_1 + \cdots + V_m) = \dim V_1 + \cdots + \dim V_m$$

اثبات حالت دو زیرفضا

طبق فرمول گراسمن ۳۹.۲ داریم:

$$\dim(V_1 + V_2) = \dim V_1 + \dim V_2 - \dim(V_1 \cap V_2)$$

طرفین را مرتب می‌کنیم:

$$\dim(V_1 + V_2) = \dim V_1 + \dim V_2 \iff \dim(V_1 \cap V_2) = 0$$

اما تنها زیرفضایی که بعد آن صفر است، زیرفضای صفر است:

$$\dim(V_1 \cap V_2) = 0 \iff V_1 \cap V_2 = \{\mathbf{0}\}$$

از سوی دیگر، طبق تعریف جمع مستقیم در فصل اول (بخش ۳.۱)، جمع دو زیرفضا مستقیم است اگر و تنها اگر اشتراک آن‌ها تنها شامل بردار صفر باشد ($V_1 \cap V_2 = \{\mathbf{0}\}$). بنابراین:

$$V_1 + V_2 = V_1 \oplus V_2 \iff \dim(V_1 + V_2) = \dim V_1 + \dim V_2 \quad \blacksquare$$

دام کلاسیک کنکور و امتحانات (تمرین ۱۹ و ۲۰ بخش ۳.۲)

ممکن است وسوسه شوید با قیاس از نظریه مجموعه‌ها فکر کنید برای سه زیرفضا رابطه زیر برقرار است:

$$\begin{aligned} \dim(V_1 + V_2 + V_3) \stackrel{?}{=} &\dim V_1 + \dim V_2 + \dim V_3 \\ &- \dim(V_1 \cap V_2) - \dim(V_1 \cap V_3) - \dim(V_2 \cap V_3) \\ &+ \dim(V_1 \cap V_2 \cap V_3) \end{aligned}$$

این فرمول به طور فاحشی غلط است!

💥 مثال نقض قاطع:

در صفحه $\mathbb{R}^2$، سه خط متمایز گذرنده از مبدا را در نظر بگیرید:

• $V_1 = \operatorname{span}((1, 0))$ (محور $x$)
• $V_2 = \operatorname{span}((0, 1))$ (محور $y$)
• $V_3 = \operatorname{span}((1, 1))$ (خط $y = x$)

بیایید دو طرف فرمول را محاسبه کنیم:

• سمت چپ: مجموع این سه خط کل صفحه است: $V_1 + V_2 + V_3 = \mathbb{R}^2 \implies \dim = 2$.
• سمت راست:
  • بعد هر خط: $\dim V_1 = \dim V_2 = \dim V_3 = 1$.
  • اشتراک هر دو خط فقط مبدا است: $\dim(V_i \cap V_j) = \dim(\{\mathbf{0}\}) = 0$.
  • اشتراک هر سه خط نیز فقط مبدا است: $\dim(V_1 \cap V_2 \cap V_3) = 0$.
  • محاسبه سمت راست: $1 + 1 + 1 - 0 - 0 - 0 + 0 = \mathbf{3}$!

اما $2 \neq 3$! بنابراین تعمیم ساده‌لوحانه شمول و طرد به ۳ زیرفضا نامعتبر است. علت این است که وابستگی خطی میان سه بردار در فضا رفتاری فراتر از اشتراک‌های دوبه‌دو دارد.