صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

فرض کنید $V$ با بعد متناهی است، با $\dim V = n \ge 1$. ثابت کنید زیرفضاهای یک‌بعدی $V_1, \dots, V_n$ از $V$ وجود دارند به طوری که:

$$V = V_1 \oplus \dots \oplus V_n$$

اثبات ساختاری با استفاده از پایه

گام اول (انتخاب پایه): چون $\dim V = n \ge 1$، طبق تعریف بعد و قضیه وجود پایه، یک پایه برای $V$ وجود دارد. فرض کنید:

$$(v_1, v_2, \dots, v_n)$$

یک پایه برای $V$ باشد.

گام دوم (ساخت زیرفضاهای یک‌بعدی): برای هر $i \in \{1, \dots, n\}$، زیرفضای $V_i$ را به صورت اسپن بردار $v_i$ تعریف می‌کنیم:

$$V_i = \operatorname{span}(v_i) = \{ c v_i : c \in \mathbb{F} \}$$

چون بردار پایه $v_i \neq 0$ است، بعد هر یک از این زیرفضاها دقیقاً برابر با ۱ است:

$$\dim V_i = 1 \quad \forall i \in \{1, \dots, n\}$$

گام سوم (اثبات جمع مستقیم و پوشش کل فضا): دو بخش را بررسی می‌کنیم:

۱. پوشش کل فضا ($V = V_1 + \dots + V_n$): هر بردار دلخواه $v \in V$ را می‌توان بر حسب پایه به صورت زیر نوشت:

$$v = c_1 v_1 + c_2 v_2 + \dots + c_n v_n$$

از آنجا که برای هر $i$ داریم $c_i v_i \in V_i$، پس $v$ متعلق به مجموع $V_1 + \dots + V_n$ است. بنابراین:

$$V = V_1 + \dots + V_n$$

۲. یکتایی نمایش (مستقیم بودن جمع): فرض کنید برای بردارهای $w_i \in V_i$ داشته باشیم:

$$w_1 + w_2 + \dots + w_n = 0$$

چون هر $w_i \in V_i = \operatorname{span}(v_i)$، اسکالرهای $c_i \in \mathbb{F}$ وجود دارند به طوری که $w_i = c_i v_i$. پس:

$$c_1 v_1 + c_2 v_2 + \dots + c_n v_n = 0$$

اما $(v_1, \dots, v_n)$ پایه‌ای برای $V$ است و بنابراین مستقل خطی است؛ پس:

$$c_1 = c_2 = \dots = c_n = 0$$

در نتیجه:

$$w_1 = w_2 = \dots = w_n = 0$$

طبق ملاک جمع مستقیم بودن، تنها راه نمایش بردار صفر با اعضای زیرفضاها، انتخاب بردار صفر از هر زیرفضا است.

نتیجه: جمع زیرفضاها مستقیم است و کل فضا را تشکیل می‌دهد:

$$V = V_1 \oplus V_2 \oplus \dots \oplus V_n$$

حکم اثبات شد. $\blacksquare$

ارتباط پایه با جمع مستقیم خطوط

• یک پایه در واقع راهی برای تجزیه کل فضا به محورهای مختصات مستقل (خطوط یک‌بعدی) است. این قضیه نشان می‌دهد هر پایه متناظر با یک تجزیه مستقیم به خطوط است.