صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

فرض کنید $U$ و $W$ زیرفضاهایی از $V$ باشند به طوری که $V = U \oplus W$. همچنین فرض کنید $u_1, \dots, u_m$ یک پایه از $U$ و $w_1, \dots, w_n$ یک پایه از $W$ است. ثابت کنید:

$$u_1, \dots, u_m, w_1, \dots, w_n$$

یک پایه از $V$ است.

اثبات کامل دو مرحله‌ای

گام اول: اثبات مولد بودن لیست الحاقی برای $V$ فرض کنید $v \in V$ یک بردار دلخواه باشد. چون $V = U \oplus W$، به ویژه داریم $V = U + W$. بنابراین بردارهایی مانند $u \in U$ و $w \in W$ وجود دارند به طوری که:

$$v = u + w$$

چون $(u_1, \dots, u_m)$ پایه‌ای برای $U$ است، اسکالرهای $a_1, \dots, a_m \in \mathbb{F}$ وجود دارند به طوری که:

$$u = a_1 u_1 + \dots + a_m u_m$$

مشابهاً چون $(w_1, \dots, w_n)$ پایه‌ای برای $W$ است، اسکالرهای $b_1, \dots, b_n \in \mathbb{F}$ وجود دارند به طوری که:

$$w = b_1 w_1 + \dots + b_n w_n$$

با قرار دادن این دو در رابطه $v$:

$$v = a_1 u_1 + \dots + a_m u_m + b_1 w_1 + \dots + b_n w_n$$

این نشان می‌دهد هر $v \in V$ به صورت ترکیبی خطی از لیست الحاقی $(u_1, \dots, u_m, w_1, \dots, w_n)$ بیان می‌شود. بنابراین این لیست فضا را اسپن می‌کند:

$$\operatorname{span}(u_1, \dots, u_m, w_1, \dots, w_n) = V$$

گام دوم: اثبات استقلال خطی لیست الحاقی فرض کنید اسکالرهایی مانند $a_1, \dots, a_m, b_1, \dots, b_n \in \mathbb{F}$ وجود داشته باشند به طوری که:

$$a_1 u_1 + \dots + a_m u_m + b_1 w_1 + \dots + b_n w_n = 0 \quad \text{--- (۱)}$$

جملات شامل $w$ را به طرف راست معادله انتقال می‌دهیم:

$$a_1 u_1 + \dots + a_m u_m = - (b_1 w_1 + \dots + b_n w_n) \quad \text{--- (۲)}$$

بردار سمت چپ ترکیبی خطی از اعضای $U$ است، بنابراین متعلق به $U$ است. بردار سمت راست ترکیبی خطی از اعضای $W$ است، بنابراین متعلق به $W$ است. نام این بردار را $x$ می‌گذاریم. داریم:

$$x \in U \quad \text{و} \quad x \in W \implies x \in U \cap W$$

اما بنا به فرض، جمع $U$ و $W$ یک جمع مستقیم است ($V = U \oplus W$)، پس طبق قضیه جمع مستقیم:

$$U \cap W = \{0\}$$

در نتیجه باید داشته باشیم:

$$x = 0$$

یعنی هر دو طرف تساوی (۲) برابر با بردار صفر هستند:

$$a_1 u_1 + \dots + a_m u_m = 0$$

$$b_1 w_1 + \dots + b_n w_n = 0$$

حال از استقلال خطی پایه‌های اولیه استفاده می‌کنیم:

• چون $(u_1, \dots, u_m)$ پایه‌ای برای $U$ است و در نتیجه مستقل خطی است: $$a_1 = \dots = a_m = 0$$
• چون $(w_1, \dots, w_n)$ پایه‌ای برای $W$ است و در نتیجه مستقل خطی است: $$b_1 = \dots = b_n = 0$$

بنابراین تمامی ضرایب در معادله (۱) صفر هستند. این اثبات می‌کند که لیست $(u_1, \dots, u_m, w_1, \dots, w_n)$ مستقل خطی است.

نتیجه: این لیست هم مولد $V$ است و هم مستقل خطی، پس یک پایه برای $V$ است. $\blacksquare$

اهمیت صفر بودن اشتراک

• این قضیه شالوده فرمول جمع بعد برای جمع مستقیم است: $\dim(U \oplus W) = \dim U + \dim W$.
• اگر جمع مستقیم نباشد ($U \cap W \neq \{0\}$)، این لیست قطعاً وابسته خطی خواهد بود!