رفتن به متن
باغ ریاضی
تمرین ۱۲.۳.۲ جمع مستقیم زیرفضاهای ۳ و ۵ بعدی در R8
تنظیمات مطالعه
تنظیمات مطالعه

تمرین ۱۲.۳.۲ جمع مستقیم زیرفضاهای ۳ و ۵ بعدی در R8

#تمرین#حل_تشریحی#فصل_۲#بخش_۳نسخهٔ رسمی

یادداشت شما ذخیره شد

می‌خواهید این تغییرات برای مدیر وب‌سایت هم ارسال شوند؟ نسخهٔ رسمی تنها پس از تأیید تغییر می‌کند.

تمرین ۱۲ بخش ۳.۲: جمع مستقیم زیرفضاهای ۳ و ۵ بعدی در R8\mathbb{R}^8

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

فرض کنید UU و WW زیرفضاهایی از R8\mathbb{R}^8 باشند به طوری که:

dim⁡U=3,dim⁡W=5,U+W=R8\dim U = 3, \quad \dim W = 5, \quad U + W = \mathbb{R}^8

ثابت کنید:

R8=U⊕W\mathbb{R}^8 = U \oplus W

۱. تحلیل اولیه و باز کردن خواسته مسئله

  • داده‌های مسئله:
    • فضای مادر: R8\mathbb{R}^8 با بعد dim⁡R8=8\dim \mathbb{R}^8 = 8.
    • زیرفضاها: dim⁡U=3\dim U = 3 و dim⁡W=5\dim W = 5.
    • شرط پوشش: U+W=R8U + W = \mathbb{R}^8.
  • حکم مسئله:
    • اثبات جمع مستقیم بودن: R8=U⊕W\mathbb{R}^8 = U \oplus W.
  • معیار جمع مستقیم بودن:
    • طبق تعریف و قضایای بنیادین جمع مستقیم، چون از قبل می‌دانیم U+W=R8U + W = \mathbb{R}^8، برای اثبات مستقیم بودن جمع تنها کافی است نشان دهیم: U∩W={0}  ⟺  dim⁡(U∩W)=0U \cap W = \{0\} \iff \dim(U \cap W) = 0

۲. ایده و استراتژی حل (Problem-Solving Strategy)

با استفاده از قضیه بعد مجموع دو زیرفضا (فرمول گراسمن)، بعد اشتراک را مستقیماً محاسبه می‌کنیم:

dim⁡(U∩W)=dim⁡U+dim⁡W−dim⁡(U+W)=3+5−8=0\dim(U \cap W) = \dim U + \dim W - \dim(U + W) = 3 + 5 - 8 = 0

تنها زیرفضای با بعد صفر، زیرفضای صفر {0}\{0\} است، که جمع مستقیم را نتیجه می‌دهد.

۳. حل تشریحی گام‌به‌گام (Step-by-Step Solution)

اثبات جبری با فرمول گراسمن

گام اول: محاسبه بعد U+WU + W بنا به فرض صریح صورت مسئله:

U+W=R8U + W = \mathbb{R}^8

بنابراین بعد مجموع برابر است با بعد کل فضا:

dim⁡(U+W)=dim⁡R8=8\dim(U + W) = \dim \mathbb{R}^8 = 8

گام دوم: اعمال فرمول بعد گراسمن طبق قضیه ۳۹.۲ آکسلر:

dim⁡(U+W)=dim⁡U+dim⁡W−dim⁡(U∩W)\dim(U + W) = \dim U + \dim W - \dim(U \cap W)

مقادیر عددی داده شده را جایگذاری می‌کنیم:

8=3+5−dim⁡(U∩W)8 = 3 + 5 - \dim(U \cap W)

8=8−dim⁡(U∩W)8 = 8 - \dim(U \cap W)

با انتقال جملات نتیجه می‌شود:

dim⁡(U∩W)=0\dim(U \cap W) = 0

گام سوم: نتیجه‌گیری اشتراک صفر و جمع مستقیم تنها فضای برداری که بعد آن برابر با صفر است، فضای تک‌عضوی صفر است:

U∩W={0}U \cap W = \{0\}

طبق شرط لازم و کافی برای جمع مستقیم دو زیرفضا: چون U+W=R8U + W = \mathbb{R}^8 و U∩W={0}U \cap W = \{0\} است، مجموع زیرفضاها یک جمع مستقیم است:

R8=U⊕W\mathbb{R}^8 = U \oplus W

حکم اثبات شد. ■\blacksquare

۴. نکات کلیدی و دام‌های تستی

قضیه ابعاد در جمع مستقیم

  • قضیه ۴۰.۲ آکسلر بیان می‌کند: اگر V=U+WV = U + W باشد، آنگاه V=U⊕WV = U \oplus W است اگر و فقط اگر dim⁡V=dim⁡U+dim⁡W\dim V = \dim U + \dim W. در اینجا 8=3+58 = 3 + 5 برقرار است؛ بنابراین جمع مستقیم بلافاصله نتیجه می‌شود.

۵. پیوندها

پیوندهای این یادداشت ۲

یادداشت‌هایی که از این صفحه به آن‌ها پیوند داده شده است.

  • قضیه ۳۹.۲ بعد مجموع دو زیرفضا (فرمول گراسمن)
    پیش‌نمایش

    قضیه ۳۹.۲: بعد مجموع دو زیرفضا (فرمول گراسمن)

    پیام کلیدی قضیه در یک جمله

    اصل شمول و طرد در دنیای بردارها: بعد مجموع دو زیرفضا برابر است با مجموع ابعاد آن‌ها منهای بعد اشتراکشان؛ آنچه در اشتراک مشترک است را نباید دو بار شمرد.

  • قضیه ۴۰.۲ بعد جمع مستقیم زیرفضاها
    پیش‌نمایش

    قضیه ۴۰.۲: بعد جمع مستقیم زیرفضاها

    پیام کلیدی قضیه در یک جمله

    مجموع زیرفضاها زمانی و تنها زمانی جمع مستقیم است که بعد مجموع برابر با حاصل‌جمع ابعاد تک‌تک آن‌ها باشد؛ در جمع مستقیم هیچ بعدی هدر نمی‌رود.

ارجاعات به این یادداشت ۱

یادداشت‌هایی که به این صفحه پیوند داده‌اند.

حالت ارائه