پیام کلیدی قضیه در یک جمله

اصل شمول و طرد در دنیای بردارها: بعد مجموع دو زیرفضا برابر است با مجموع ابعاد آن‌ها منهای بعد اشتراکشان؛ آنچه در اشتراک مشترک است را نباید دو بار شمرد.

قضیه ۴۳.۲ کتاب آکسلر (فرمول بعد مجموع یا گراسمن)

اگر $V_1$ و $V_2$ دو زیرفضای یک فضای برداری با بعد متناهی باشند، آنگاه:

$$\dim(V_1 + V_2) = \dim V_1 + \dim V_2 - \dim(V_1 \cap V_2)$$

اثبات کامل قضیه گراسمن

گام اول (پایه اشتراک): چون $V_1 \cap V_2$ زیرفضایی از فضای بعد متناهی است، بعد متناهی دارد. فرض کنید $(v_1, \dots, v_m)$ یک پایه از $V_1 \cap V_2$ باشد. بنابراین:

$$\dim(V_1 \cap V_2) = m$$

گام دوم (گسترش به پایه‌های $V_1$ و $V_2$): فهرست $(v_1, \dots, v_m)$ در $V_1$ مستقل خطی است. بنا به قضیه گسترش ۳۱.۲، می‌توان آن را به یک پایه از $V_1$ گسترش داد:

$$(v_1, \dots, v_m, u_1, \dots, u_j) \implies \dim V_1 = m + j$$

به طور مشابه، فهرست $(v_1, \dots, v_m)$ در $V_2$ مستقل خطی است و می‌توان آن را به پایه‌ای از $V_2$ گسترش داد:

$$(v_1, \dots, v_m, w_1, \dots, w_k) \implies \dim V_2 = m + k$$

گام سوم (معرفی فهرست مجموع): فهرست الحاقی زیر را در نظر بگیرید:

$$(v_1, \dots, v_m, u_1, \dots, u_j, w_1, \dots, w_k) \tag{۴۴.۲}$$

ثابت می‌کنیم این فهرست یک پایه برای $V_1 + V_2$ است.

گام چهارم (اثبات مولد بودن فهرست): هر بردار در $V_1 + V_2$ به صورت $x + y$ است که $x \in V_1$ و $y \in V_2$. چون $x$ در اسپن $v$ها و $u$ها قرار دارد، و $y$ در اسپن $v$ها و $w$ها قرار دارد، مجموع آن‌ها در اسپن فهرست (۴۴.۲) قرار می‌گیرد. بنابراین فهرست (۴۴.۲) فضای $V_1 + V_2$ را گسترش می‌دهد.

گام پنجم (اثبات استقلال خطی فهرست - بخش حیاتی اثبات): فرض کنید ترکیب خطی این بردارها برابر با بردار صفر شود:

$$a_1 v_1 + \cdots + a_m v_m + b_1 u_1 + \cdots + b_j u_j + c_1 w_1 + \cdots + c_k w_k = \mathbf{0} \tag{۴۵.۲}$$

جمله شامل $w$ها را به سمت راست منتقل می‌کنیم:

$$c_1 w_1 + \cdots + c_k w_k = -a_1 v_1 - \cdots - a_m v_m - b_1 u_1 - \cdots - b_j u_j$$

سمت راست این تساوی ترکیبی از $v$ها و $u$ها است، پس متعلق به $V_1$ می‌باشد. از سوی دیگر، سمت چپ ترکیبی از $w$ها است و متعلق به $V_2$ می‌باشد. بنابراین بردار $c_1 w_1 + \cdots + c_k w_k$ متعلق به هر دو زیرفضا، یعنی متعلق به $V_1 \cap V_2$ است!

چون $(v_1, \dots, v_m)$ یک پایه از $V_1 \cap V_2$ است، این بردار را می‌توان برحسب $v$ها نوشت؛ یعنی اسکالرهایی مانند $d_1, \dots, d_m$ وجود دارند به طوری که:

$$c_1 w_1 + \cdots + c_k w_k = d_1 v_1 + \cdots + d_m v_m$$

$$\implies d_1 v_1 + \cdots + d_m v_m - c_1 w_1 - \cdots - c_k w_k = \mathbf{0}$$

اما فهرست $(v_1, \dots, v_m, w_1, \dots, w_k)$ یک پایه از $V_2$ بود و در نتیجه مستقل خطی است! بنابراین تمام ضرایب آن صفرند:

$$c_1 = \cdots = c_k = 0 \quad (\text{و } d_1 = \cdots = d_m = 0)$$

با قرار دادن $c_1 = \dots = c_k = 0$ در رابطه اصلی (۴۵.۲)، به دست می‌آوریم:

$$a_1 v_1 + \cdots + a_m v_m + b_1 u_1 + \cdots + b_j u_j = \mathbf{0}$$

اما فهرست $(v_1, \dots, v_m, u_1, \dots, u_j)$ نیز پایه‌ای برای $V_1$ بود و مستقل خطی است. بنابراین:

$$a_1 = \cdots = a_m = b_1 = \cdots = b_j = 0$$

بدین ترتیب ثابت شد تمام ضرایب $a_i, b_r, c_s$ صفرند و فهرست (۴۴.۲) مستقل خطی است.

گام ششم (محاسبه طول و پایان برهان): چون فهرست (۴۴.۲) یک پایه برای $V_1 + V_2$ است، بعد $V_1 + V_2$ برابر است با طول این فهرست:

$$\dim(V_1 + V_2) = m + j + k$$

از طرفی داریم:

$$\dim V_1 + \dim V_2 - \dim(V_1 \cap V_2) = (m + j) + (m + k) - m = m + j + k$$

بنابراین:

$$\dim(V_1 + V_2) = \dim V_1 + \dim V_2 - \dim(V_1 \cap V_2) \quad \blacksquare$$