صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

فرض کنید $V$ با بعد متناهی و $V_1, V_2, V_3$ زیرفضاهایی از $V$ با شرط زیر باشند:

$$\dim V_1 + \dim V_2 + \dim V_3 > 2 \dim V$$

ثابت کنید:

$$V_1 \cap V_2 \cap V_3 \neq \{0\}$$

اثبات تحلیلی

گام اول (لم تقاطع دو زیرفضا): برای هر دو زیرفضای $A, B \subseteq V$ طبق فرمول گراسمن داریم:

$$\dim(A \cap B) = \dim A + \dim B - \dim(A + B)$$

از آنجا که $A + B \subseteq V$، پس $\dim(A + B) \le \dim V$. بنابراین:

$$\dim(A \cap B) \ge \dim A + \dim B - \dim V \quad \text{--- (۱)}$$

گام دوم (اعمال لم برای $V_1$ و $V_2$): با قرار دادن $A = V_1$ و $B = V_2$ در نامساوی (۱):

$$\dim(V_1 \cap V_2) \ge \dim V_1 + \dim V_2 - \dim V \quad \text{--- (۲)}$$

گام سوم (اعمال لم برای $(V_1 \cap V_2)$ و $V_3$): حال در نامساوی (۱)، قرار می‌دهیم $A = V_1 \cap V_2$ و $B = V_3$:

$$\dim\big( (V_1 \cap V_2) \cap V_3 \big) \ge \dim(V_1 \cap V_2) + \dim V_3 - \dim V$$

به جای $\dim(V_1 \cap V_2)$، کران پایین آن از رابطه (۲) را قرار می‌دهیم:

$$\dim(V_1 \cap V_2 \cap V_3) \ge (\dim V_1 + \dim V_2 - \dim V) + \dim V_3 - \dim V$$

با ساده‌سازی سمت راست:

$$\dim(V_1 \cap V_2 \cap V_3) \ge \dim V_1 + \dim V_2 + \dim V_3 - 2 \dim V \quad \text{--- (۳)}$$

گام چهارم (نتیجه‌گیری با فرض مسئله): طبق فرض صریح مسئله:

$$\dim V_1 + \dim V_2 + \dim V_3 > 2 \dim V$$

که معادل است با:

$$\dim V_1 + \dim V_2 + \dim V_3 - 2 \dim V > 0$$

چون ابعاد همواره اعداد صحیح نامنفی هستند، نتیجه می‌شود که سمت راست رابطه (۳) اکیداً بزرگتر از صفر است، بنابراین:

$$\dim(V_1 \cap V_2 \cap V_3) \ge 1$$

از آنجا که بعد زیرفضای اشتراک حداقل ۱ است، این زیرفضا شامل بردار ناصفر است:

$$V_1 \cap V_2 \cap V_3 \neq \{0\}$$

حکم به طور کامل اثبات شد. $\blacksquare$

فرم عمومی برای $k$ زیرفضا

• با استقرای ریاضی می‌توان نشان داد برای هر $k$ زیرفضا $V_1, \dots, V_k$ از $V$: $$\dim\left( \bigcap_{i=1}^k V_i \right) \ge \sum_{i=1}^k \dim V_i - (k - 1)\dim V$$ اگر مجموع ابعاد از $(k-1)\dim V$ بیشتر باشد، اشتراک حتماً ناصفر است.