بعد هر زیرفضا همواره کمتر یا مساوی بعد فضای مادر است؛ اگر بعد یک زیرفضا با بعد فضای اصلی برابر شود، آن زیرفضا کل فضا را پر کرده و خودِ فضا است!

فرض کنید $V$ یک فضای برداری با بعد متناهی و $U$ یک زیرفضای $V$ باشد. آنگاه: ۱. نامساوی بعد:

۲. شرط تساوی کل فضا:

اثبات بخش ۱: نامساوی $\dim U \le \dim V$

گام اول: فرض کنید $V$ با بعد متناهی و $U$ یک زیرفضای $V$ باشد. طبق قضیه ۲۵.۲، زیرفضای $U$ نیز بعد متناهی است.

گام دوم: طبق قضیه ۳۰.۲، $U$ دارای یک پایه مانند $B_U$ و $V$ دارای پایه‌ای مانند $B_V$ است.

• $B_U$ یک فهرست مستقل خطی در $U$ است؛ بنابراین در فضای بزرگتر $V$ نیز مستقل خطی است.
• $B_V$ یک فهرست گسترش‌دهنده (مولد) برای $V$ است.

گام سوم: بنا به قضیه ۲۲.۲، طول هر فهرست مستقل خطی در $V$ کمتر یا مساوی با طول هر فهرست مولد در $V$ است:

با توجه به اینکه طبق تعریف بعد، $\dim U = \operatorname{length}(B_U)$ و $\dim V = \operatorname{length}(B_V)$، نتیجه می‌گیریم:

اثبات بخش ۲: تساوی زیرفضا $U = V$ در صورت $\dim U = \dim V$

گام چهارم: فرض کنید $\dim U = \dim V = n$.

گام پنجم: فرض کنید $(u_1, \dots, u_n)$ پایه‌ای برای $U$ باشد. این فهرست به طول $n$ در $U$ مستقل خطی است، پس در $V$ نیز مستقل خطی است.

گام ششم: اکنون $(u_1, \dots, u_n)$ یک فهرست مستقل خطی در $V$ است که طول آن دقیقاً برابر با $\dim V$ می‌باشد. طبق قضیه ۳۷.۲ کتاب آکسلر، هر فهرست مستقل خطی با طول برابر با بعد فضا، خود یک پایه برای کل فضا است. بنابراین $(u_1, \dots, u_n)$ پایه‌ای برای $V$ است.

گام هفتم: در نتیجه:

تساوی اثبات شد. $\blacksquare$

• تکنیک اثبات یک‌خطی در آزمون‌ها: در امتحانات، اگر بخواهید نشان دهید زیرفضای $U$ با کل فضا $V$ برابر است، لازم نیست نشان دهید هر عضو $V$ در $U$ است (اثبات دوطرفه شمول مجموعه‌ها). کافی است فقط ثابت کنید $U \subseteq V$ و سپس با یک محاسبه بعد نشان دهید $\dim U = \dim V$. این قضیه تساوی را رایگان به شما هدیه می‌دهد!
• زیرفضای سره (Proper Subspace): اگر $U \subsetneq V$ یک زیرفضای سره باشد، قطعاً داریم: $$\dim U < \dim V$$