صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

فرض کنید:

$$U = \left\{ p \in \mathcal{P}_4(\mathbb{R}) : \int_{-1}^1 p(x) \, dx = 0 \right\}$$

الف) یک پایه برای $U$ پیدا کنید. ب) پایه در (الف) را به یک پایه از $\mathcal{P}_4(\mathbb{R})$ گسترش دهید. ج) یک زیرفضای $W$ از $\mathcal{P}_4(\mathbb{R})$ پیدا کنید به طوری که $\mathcal{P}_4(\mathbb{R}) = U \oplus W$.

حل دقیق

بخش الف: ساخت پایه برای $U$

چهار چندجمله‌ای زیر را تعریف می‌کنیم:

$$p_1(x) = x$$

$$p_2(x) = x^2 - \frac{1}{3}$$

$$p_3(x) = x^3$$

$$p_4(x) = x^4 - \frac{1}{5}$$

• بررسی عضویت در $U$:
  • $\int_{-1}^1 p_1(x) dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^1 = 0 \implies p_1 \in U$.
  • $\int_{-1}^1 p_2(x) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x}{3} \right]_{-1}^1 = \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \right) - \left( -\frac{1}{3} + \frac{1}{3} \right) = 0 \implies p_2 \in U$.
  • $\int_{-1}^1 p_3(x) dx = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{-1}^1 = 0 \implies p_3 \in U$.
  • $\int_{-1}^1 p_4(x) dx = \left[ \frac{x^5}{5} - \frac{x}{5} \right]_{-1}^1 = 0 \implies p_4 \in U$.
• استقلال خطی: درجات این چندجمله‌ای‌ها به ترتیب $1, 2, 3, 4$ هستند که همگی متمایزند. بنابراین این ۴ بردار مستقل خطی‌اند.
• مولد بودن: چون $\dim U = 4$ و این لیست مستقل خطی دارای ۴ عضو در $U$ است، طبق قضیه ۳۷.۲ مستقیماً پایه‌ای برای $U$ است. بنابراین $(x, x^2 - \frac{1}{3}, x^3, x^4 - \frac{1}{5})$ یک پایه برای $U$ است.

بخش ب: گسترش به پایه $\mathcal{P}_4(\mathbb{R})$

چندجمله‌ای درجه صفر $p_0(x) = 1$ را به لیست اضافه می‌کنیم:

$$\mathcal{B} = \left( 1, x, x^2 - \frac{1}{3}, x^3, x^4 - \frac{1}{5} \right)$$

این ۵ عضو درجات متمایز $0, 1, 2, 3, 4$ دارند؛ پس مستقل خطی‌اند. چون بعد فضای مادر ۵ است، این لیست یک پایه برای $\mathcal{P}_4(\mathbb{R})$ است.

بخش ج: متمم مستقیم $W$

قرار می‌دهیم:

$$W = \operatorname{span}(1) = \{ c : c \in \mathbb{R} \}$$

• بررسی اشتراک: اگر $f \in U \cap W$ باشد، چون $f \in W$ پس $f(x) = c$ عددی ثابت است. از سوی دیگر چون $f \in U$، داریم: $$\int_{-1}^1 c \, dx = 2c = 0 \implies c = 0 \implies f = 0$$ بنابراین $U \cap W = \{0\}$.
• بررسی مجموع: هر $p \in \mathcal{P}_4(\mathbb{R})$ به صورت زیر تجزیه می‌شود: $$p(x) = \left( p(x) - \frac{1}{2} \int_{-1}^1 p(t)dt \right) + \left( \frac{1}{2} \int_{-1}^1 p(t)dt \right)$$ جمله اول متعلق به $U$ است (زیرا انتگرال آن صفر می‌شود) و جمله دوم عددی ثابت است و در $W$ قرار دارد. بنابراین $\mathcal{P}_4(\mathbb{R}) = U \oplus W$. $\blacksquare$

ارتباط با چندجمله‌ای‌های لژاندر

• بردارهای به دست آمده در بخش الف بسیار شبیه به چندجمله‌ای‌های لژاندر هستند که پایه‌های متعامد تحت ضرب داخلی $\langle p, q \rangle = \int_{-1}^1 pq$ می‌باشند.