پیام کلیدی قضیه در یک جمله

تخفیف ۵۰ درصدی برای بررسی پایه: اگر بدانید بعد فضا $n$ است و فهرستی از $n$ بردار مستقل خطی در دست داشته باشید، نیاز به بررسی مولد بودن نیست؛ این فهرست خودبه‌خود یک پایه است!

قضیه ۳۸.۲ کتاب آکسلر

فرض کنید $V$ یک فضای برداری با بعد متناهی باشد. آنگاه هر فهرست مستقل خطی از بردارهای $V$ که طول آن برابر با $\dim V$ است، یک پایه از $V$ می‌باشد.

اثبات کامل قضیه آزمون سریع پایه با استقلال

گام اول (فرضیات): فرض کنید $V$ یک فضای برداری با بعد متناهی با بعد $\dim V = n$ باشد. فرض کنید فهرست $(v_1, \dots, v_n)$ در $V$ مستقل خطی باشد. طول این فهرست برابر با $n$ است.

گام دوم (اعمال قضیه گسترش): بنا به قضیه ۳۱.۲ کتاب آکسلر، هر فهرست مستقل خطی در یک فضای بعد متناهی را می‌توان با افزودن بردارهایی به یک پایه از $V$ گسترش داد.

گام سوم (بررسی طول پایه حاصل): فرض کنید این فهرست به پایه‌ای با طول $m$ گسترش یابد ($m \ge n$). اما طبق قضیه ۳۳.۲، تمام پایه‌های $V$ دارای طول یکسان و برابر با $\dim V = n$ هستند. بنابراین باید داشته باشیم:

$$m = n$$

گام چهارم (نتیجه‌گیری): تساوی $m = n$ به این معناست که در فرآیند گسترش، هیچ برداری به فهرست $(v_1, \dots, v_n)$ اضافه نشده است (گسترش بدیهی). بنابراین فهرست اولیه $(v_1, \dots, v_n)$ خود یک پایه از $V$ بوده است. $\blacksquare$

تعیین سریع پایه در $\mathbb{F}^2$ (مثال ۴۰.۲ کتاب آکسلر)

آیا فهرست $((5, 7), (4, 3))$ پایه‌ای برای $\mathbb{F}^2$ است؟

• روش سنتی: حل دستگاه و اثبات استقلال خطی + حل دستگاه و اثبات پوشش‌دهی کل $\mathbb{F}^2$.
• روش سریع آکسلر با قضیه ۳۷.۲: ۱. می‌دانیم $\dim \mathbb{F}^2 = 2$. ۲. طول فهرست برابر ۲ است. ۳. این دو بردار مضرب اسکالر یکدیگر نیستند ($5/4 \neq 7/3$)، پس قطعاً مستقل خطی هستند. ۴. طبق قضیه ۳۷.۲، چون طول فهرست مساوی بعد فضا است، این فهرست بلافاصله یک پایه است و هیچ نیازی به بررسی مولد بودن نیست!