چکیده مفهومی

یک پایه برای فضای برداری، مجموعه‌ای از بردارهاست که نه آن‌قدر کم هستند که نتوان کل فضا را با آن‌ها ساخت (مولد هستند)، و نه آن‌قدر زیادند که بردار اضافه‌ای در میان آن‌ها تلف شود (مستقل خطی هستند). پایه یعنی «حداقل تعداد بردار برای دسترسی به همه‌جا» و «سیستم مختصات بنیادین فضا».

تعریف ۲۶.۲ کتاب آکسلر

یک پایه (Basis) از فضای برداری $V$، فهرستی از بردارهای $V$ است که هم مستقل خطی باشد و هم $V$ را گسترش دهد (اسپن کند).

به بیان دیگر، فهرست $(v_1, \dots, v_n)$ یک پایه برای $V$ است اگر و تنها اگر: ۱. $(v_1, \dots, v_n)$ در $V$ مستقل خطی باشد:

$$a_1 v_1 + \cdots + a_n v_n = \mathbf{0} \implies a_1 = \cdots = a_n = 0$$

۲. $(v_1, \dots, v_n)$ مولد $V$ باشد:

$$\operatorname{span}(v_1, \dots, v_n) = V$$

مثال‌های پایه

۱. در فضای $\mathbb{R}^2$، دو بردار $(1, 0)$ و $(0, 1)$ یک پایه تشکیل می‌دهند. همچنین دو بردار $(1, 2)$ و $(3, 5)$ نیز پایه‌ای دیگر برای $\mathbb{R}^2$ هستند. ۲. در فضای چندجمله‌ای‌های درجه حداکثر دو، یعنی $\mathcal{P}_2(\mathbb{F})$، فهرست $(1, x, x^2)$ یک پایه است.

غیرمثال‌ها (دام‌های امتحانی)

• فهرست مستقل ولی غیرمولد: در فضای $\mathbb{R}^3$، فهرست $((1, 0, 0), (0, 1, 0))$ مستقل خطی است، اما پایه $\mathbb{R}^3$ نیست؛ زیرا بردارهایی مثل $(0, 0, 1)$ در اسپن آن قرار ندارند.
• فهرست مولد ولی وابسته: در فضای $\mathbb{R}^2$، فهرست $((1, 0), (0, 1), (2, 3))$ فضا را گسترش می‌دهد، اما چون سه بردار در فضای دوبعدی داریم، مستقل خطی نیست و در نتیجه پایه محسوب نمی‌شود.

دام‌های امتحانی

• ترتیب بردارها در تعریف آکسلر: دقت کنید که آکسلر پایه را یک فهرست (توالی مرتب / Tuple) تعریف می‌کند نه صرفاً یک مجموعه نامرتب. این ترتیب برای تعریف ماتریس نگاشت‌ها در فصول بعدی حیاتی است.
• پایه فضای صفر $\{ \mathbf{0} \}$: پایه فضای برداری صفر، فهرست تهی () با طول صفر است؛ زیرا فهرست تهی طبق قرارداد مستقل خطی است و اسپن آن مساوی $\{ \mathbf{0} \}$ تعریف می‌شود.