صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

اثبات یا ارائه یک مثال نقض: اگر $v_1, v_2, v_3, v_4$ یک پایه از $V$ باشد و $U$ زیرفضایی از $V$ باشد به طوری که:

$$v_1, v_2 \in U \quad \text{و} \quad v_3 \notin U \quad \text{و} \quad v_4 \notin U$$

آنگاه $v_1, v_2$ یک پایه از $U$ است.

ساخت مثال نقض صریح

گزاره غلط است. مثال نقض زیر را در نظر بگیرید:

گام اول (تعریف فضا و پایه): فرض کنید $V = \mathbb{R}^4$ و پایه استاندارد آن را در نظر بگیرید:

$$v_1 = (1, 0, 0, 0), \quad v_2 = (0, 1, 0, 0), \quad v_3 = (0, 0, 1, 0), \quad v_4 = (0, 0, 0, 1)$$

گام دوم (تعریف زیرفضا): زیرفضای $U$ را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

$$U = \operatorname{span}(v_1, v_2, v_3 + v_4)$$

یا به زبان معادلات:

$$U = \big\{ (x_1, x_2, x_3, x_4) \in \mathbb{R}^4 : x_3 = x_4 \big\}$$

گام سوم (بررسی فرضیات مسئله): ۱. $v_1 = (1, 0, 0, 0) \in U$ (زیرا $x_3 = 0 = x_4$). ۲. $v_2 = (0, 1, 0, 0) \in U$ (زیرا $x_3 = 0 = x_4$). ۳. $v_3 = (0, 0, 1, 0) \notin U$ (زیرا $x_3 = 1 \neq 0 = x_4$). ۴. $v_4 = (0, 0, 0, 1) \notin U$ (زیرا $x_3 = 0 \neq 1 = x_4$). تمام فرضیات مسئله برقرار هستند.

گام چهارم (بررسی حکم مسئله): آیا $(v_1, v_2)$ یک پایه برای $U$ است؟ بردار $u = v_3 + v_4 = (0, 0, 1, 1)$ به وضوح در $U$ قرار دارد. اما این بردار در $\operatorname{span}(v_1, v_2)$ نیست: اگر $(0, 0, 1, 1) = c_1 (1, 0, 0, 0) + c_2 (0, 1, 0, 0) = (c_1, c_2, 0, 0)$ باشد، نتیجه می‌شود $1 = 0$ که تناقض است. بنابراین:

$$\operatorname{span}(v_1, v_2) \neq U$$

پس $(v_1, v_2)$ پایه $U$ نیست (تنها یک زیرمجموعه مستقل خطی از $U$ است). در واقع $\dim U = 3$ است و هر پایه از $U$ باید شامل ۳ بردار باشد. $\blacksquare$

مغالطه عدم تعلق مؤلفه‌ها

• یک باور نادرست این است که اگر $v_3 \notin U$ و $v_4 \notin U$، آنگاه هیچ ترکیب خطی از $v_3$ و $v_4$ نیز نمی‌تواند در $U$ باشد. این کاملاً غلط است؛ زیرفضاها تحت جمع بسته‌اند، نه مکمل آن‌ها!