صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

اثبات یا ارائه یک مثال نقض: اگر $p_0, p_1, p_2, p_3$ یک لیست در $\mathcal{P}_3(\mathbb{F})$ باشد به طوری که هیچ یک از چندجمله‌ای‌های $p_0, p_1, p_2, p_3$ درجه ۲ نداشته باشند، آنگاه $p_0, p_1, p_2, p_3$ یک پایه از $\mathcal{P}_3(\mathbb{F})$ نیست.

ارائه مثال نقض صریح

حکم نادرست است. مثال نقض زیر را در نظر بگیرید: در فضای $\mathcal{P}_3(\mathbb{F})$ چهار چندجمله‌ای زیر را تعریف می‌کنیم:

$$p_0(x) = 1 \quad (\text{درجه } 0)$$

$$p_1(x) = x \quad (\text{درجه } 1)$$

$$p_2(x) = x^3 \quad (\text{درجه } 3)$$

$$p_3(x) = x^3 + x^2 \quad (\text{درجه } 3)$$

گام اول (بررسی شرط مسئله): درجات این چهار چندجمله‌ای به ترتیب عبارتند از:

$$\deg(p_0) = 0, \quad \deg(p_1) = 1, \quad \deg(p_2) = 3, \quad \deg(p_3) = 3$$

هیچ‌کدام از این چهار چندجمله‌ای دارای درجه ۲ نیستند. بنابراین شرط مسئله کاملاً برقرار است.

گام دوم (بررسی پایه بودن لیست): نشان می‌دهیم این چهار چندجمله‌ای یک پایه برای $\mathcal{P}_3(\mathbb{F})$ هستند: پایه‌ استاندارد $\mathcal{P}_3(\mathbb{F})$ عبارت است از $(1, x, x^2, x^3)$. می‌توان هر یک از اعضای پایه استاندارد را بر حسب $p_0, p_1, p_2, p_3$ نوشت:

• $1 = p_0$
• $x = p_1$
• $x^3 = p_2$
• $x^2 = p_3 - p_2$ بنابراین تمام بردارهای پایه استاندارد در $\operatorname{span}(p_0, p_1, p_2, p_3)$ قرار دارند: $$\mathcal{P}_3(\mathbb{F}) = \operatorname{span}(1, x, x^2, x^3) \subseteq \operatorname{span}(p_0, p_1, p_2, p_3)$$ پس این لیست مولد $\mathcal{P}_3(\mathbb{F})$ است. از آنجا که طول لیست ۴ و بعد فضای $\mathcal{P}_3(\mathbb{F})$ نیز برابر ۴ است، طبق قضیه بعد، هر لیست مولد با طول مساوی بعد، یک پایه است.

نتیجه: گزاره مطرح شده غلط است و مثال نقض ارائه گردید. $\blacksquare$

مغالطه درجات در چندجمله‌ای‌ها

• دانشجویان اغلب تصور می‌کنند برای تولید توانی از $x$ حتماً باید برداری با آن درجه بیشینه وجود داشته باشد. اما ترکیبات خطی می‌توانند درجات بالا را حذف کرده (Cancelation) و درجات پایین‌تر را آزاد کنند!