مثال ۲۷.۲: پایه‌های استاندارد در $\mathbb{F}^n$ و $\mathcal{P}_m(\mathbb{F})$

۱. تحلیل مفهومی پایه‌ها در فضاهای مختلف

وقتی با یک فضای برداری کار می‌کنیم، داشتن یک «پایه استاندارد» مثل داشتن خط‌کش مدرج است. اما یک فضا بی‌شمار خط‌کش (پایه) دیگر نیز دارد. این مثال چندین حالت مختلف را به تصویر می‌کشد: ۱. پایه‌های استاندارد که اجزای سازنده فضا را تک‌به‌تک آشکار می‌کنند. ۲. پایه‌های غیرمتعامد یا چرخیده که نشان می‌دهند پایه منحصر به پایه‌های محورها نیست. ۳. فهرست‌هایی که یکی از شروط پایه بودن (استقلال یا مولد بودن) را می‌شکنند. ۴. پایه‌های زیرفضاها که با معادلات قید تعریف شده‌اند.

۲. متن رسمی ریاضی (کتاب آکسلر)

۳. تحلیل تشریحی و اثبات تک‌تک ادعاها

۱. اثبات پایه بودن پایه استاندارد $\mathbb{F}^n$

برای بردار دلخواه $x = (x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{F}^n$ داریم:

پس این فهرست کل $\mathbb{F}^n$ را اسپن می‌کند. از طرفی، اگر $a_1(1, 0, \dots, 0) + \cdots + a_n(0, \dots, 0, 1) = (0, \dots, 0)$ باشد، ترکیب خطی برابر $(a_1, \dots, a_n)$ است که تساوی آن با صفر ایجاب می‌کند $a_1 = \cdots = a_n = 0$. پس فهرست مستقل خطی است.

۲. بررسی پایه بودن $((1, 2), (3, 5))$ در $\mathbb{F}^2$

• استقلال خطی: فرض کنید $c_1(1, 2) + c_2(3, 5) = (0, 0)$. دستگاه دو معادله و دو مجهول: $$\begin{cases} c_1 + 3c_2 = 0 \\ 2c_1 + 5c_2 = 0 \end{cases}$$ از معادله اول $c_1 = -3c_2$. با جایگذاری در دومی: $2(-3c_2) + 5c_2 = -c_2 = 0 \implies c_2 = 0 \implies c_1 = 0$.
• مولد بودن: برای هر $(x, y) \in \mathbb{F}^2$: $$\begin{cases} c_1 + 3c_2 = x \\ 2c_1 + 5c_2 = y \end{cases} \implies c_2 = 2x - y, \quad c_1 = 5x - 3y$$ ضرایب همواره در $\mathbb{F}$ وجود دارند، بنابراین این فهرست یک پایه است.

۳. بررسی زیرفضای $U = \{(x, y, z) \in \mathbb{F}^3 : x + y + z = 0\}$

هر بردار در این زیرفضا مؤلفه سومش وابسته است: $z = -x - y$. بنابراین:

آکسلر به جای $(0, 1, -1)$، بردار $(1, -1, 0)$ را انتخاب کرده است:

هر دو انتخاب مستقل خطی بوده و زیرفضا را اسپن می‌کنند.

۴. بررسی پایه استاندارد $\mathcal{P}_m(\mathbb{F})$

چندجمله‌ای‌های $(1, z, z^2, \dots, z^m)$ دارای درجات متمایز $0, 1, \dots, m$ هستند. بنا به خاصیت چندجمله‌ای‌ها، چندجمله‌ای‌هایی با درجات غیریکسان مستقل خطی‌اند (ضرایب یک چندجمله‌ای صفر همگی صفرند). همچنین طبق تعریف، هر چندجمله‌ای با درجه حداکثر $m$ ترکیبی از توان‌های $z^0$ تا $z^m$ است، پس فضا را اسپن می‌کند. طول این پایه برابر $m + 1$ است.

۴. تعبیر هندسی در جئوجبرا

appName: 3d
width: 650
height: 450
showToolBar: false
showAlgebraInput: true
showMenuBar: false
commands:
  - "Plane = Plane(x + y + z = 0)"
  - "Pt1 = (0,0,0)"
  - "Pt2 = (1, -1, 0)"
  - "v1 = Vector(Pt1, Pt2)"
  - "Pt3 = (0,0,0)"
  - "Pt4 = (1, 0, -1)"
  - "v2 = Vector(Pt3, Pt4)"
caption: "زیرفضای صفحه x + y + z = 0 در R3 و دو بردار پایه v1 و v2 که روی صفحه قرار دارند."
explain:
  - "v1 و v2 هر دو در معادله صفحه صدق می‌کنند."
  - "ترکیب خطی این دو بردار کل صفحه عبورکننده از مبدا را می‌پوشاند."

۵. نکات کلیدی و هشدارهای امتحانی

۶. پیوندها و گام‌های بعدی

• مفهوم نظری متناظر: تعریف پایه
• قضیه تضمین‌کننده بعدی: ملاک پایه بودن (یکتایی ضرایب)
• فهرست مرجع: MOC فصل ۲