پیام کلیدی قضیه در یک جمله

یک فهرست از بردارها پایه است اگر و تنها اگر هر بردار فضا را بتوان به تنها یک روش یکتا به صورت ترکیب خطی از آن‌ها نمایش داد؛ مولد بودن وجود ضرایب را تضمین می‌کند و استقلال خطی یکتایی آن‌ها را.

قضیه ۲۸.۲ کتاب آکسلر (ملاک پایه)

فهرست $(v_1, \dots, v_n)$ از بردارهای $V$ یک پایه از $V$ است اگر و تنها اگر هر $v \in V$ را بتوان به طور یکتا به شکل زیر نوشت:

$$v = a_1 v_1 + \cdots + a_n v_n$$

که در آن اسکالرهای $a_1, \dots, a_n \in \mathbb{F}$ هستند.

اثبات کامل قضیه ۲۸.۲ آکسلر

جهت اول ($\implies$):

فرض کنید $(v_1, \dots, v_n)$ یک پایه از $V$ باشد و $v \in V$ دلخواه باشد.

گام اول (وجود نمایش): چون $(v_1, \dots, v_n)$ طبق تعریف پایه کل فضا را گسترش می‌دهد ($V = \operatorname{span}(v_1, \dots, v_n)$)، پس اسکالرهایی مانند $a_1, \dots, a_n \in \mathbb{F}$ وجود دارند به طوری که:

$$v = a_1 v_1 + \cdots + a_n v_n \tag{۲۹.۲}$$

گام دوم (یکتایی نمایش): برای اثبات یکتایی، فرض کنید اسکالرهای دیگری مانند $c_1, \dots, c_n \in \mathbb{F}$ نیز وجود داشته باشند به طوری که:

$$v = c_1 v_1 + \cdots + c_n v_n$$

با تفریق معادله دوم از معادله اول به دست می‌آوریم:

$$\mathbf{0} = (a_1 - c_1) v_1 + \cdots + (a_n - c_n) v_n$$

چون فهرست $(v_1, \dots, v_n)$ پایه‌است، مستقل خطی می‌باشد. طبق تعریف استقلال خطی، ترکیب خطی فوق تنها زمانی صفر می‌شود که تمام ضرایب صفر باشند:

$$a_1 - c_1 = 0, \quad a_2 - c_2 = 0, \quad \dots, \quad a_n - c_n = 0$$

بنابراین:

$$a_1 = c_1, \quad a_2 = c_2, \quad \dots, \quad a_n = c_n$$

این امر یکتایی نمایش را اثبات می‌کند و جهت اول کامل می‌شود.

---

جهت دوم ($\impliedby$):

فرض کنید هر بردار $v \in V$ به طور یکتا به صورت ترکیب خطی از $(v_1, \dots, v_n)$ نوشته می‌شود.

گام سوم (مولد بودن): امکان نوشتن هر بردار $v \in V$ به شکل $v = a_1 v_1 + \dots + a_n v_n$ بلافاصله ایجاب می‌کند که:

$$\operatorname{span}(v_1, \dots, v_n) = V$$

یعنی فهرست داده‌شده، $V$ را گسترش می‌دهد.

گام چهارم (استقلال خطی): برای اثبات استقلال خطی، فرض کنید اسکالرهایی مانند $a_1, \dots, a_n \in \mathbb{F}$ موجود باشند به طوری که:

$$a_1 v_1 + \cdots + a_n v_n = \mathbf{0}$$

از سوی دیگر، می‌دانیم همواره می‌توان بردار صفر را به شکل بدیهی زیر نوشت:

$$0 v_1 + \cdots + 0 v_n = \mathbf{0}$$

بنا به فرض قضیه، نمایش بردار $\mathbf{0}$ باید یکتا باشد. در نتیجه ضرایب در این دو رابطه باید عیناً برابر باشند:

$$a_1 = 0, \quad a_2 = 0, \quad \dots, \quad a_n = 0$$

پس فهرست $(v_1, \dots, v_n)$ مستقل خطی است.

نتیجه نهایی: چون فهرست هم مولد است و هم مستقل خطی، طبق تعریف ۲۶.۲ یک پایه برای $V$ است. $\blacksquare$

دام‌های امتحانی

• تفاوت با مجموعه مولد صرف: اگر فهرستی مولد باشد ولی مستقل نباشد، نمایش بردارها وجود دارد اما یکتا نیست. برای مثال در $\mathbb{R}^2$ با فهرست $((1, 0), (0, 1), (1, 1))$ بردار $(2, 3)$ را می‌توان به چندین شکل نوشت: $$(2, 3) = 2(1, 0) + 3(0, 1) + 0(1, 1) = 1(1, 0) + 2(0, 1) + 1(1, 1)$$
• تفاوت با مجموعه مستقل صرف: اگر فهرستی مستقل باشد ولی مولد نباشد، نمایش بردارها در صورت وجود یکتاست، اما برای همه بردارها وجود ندارد.
• تعریف نگاشت خطی مختصات: این قضیه شالوده فصل سوم است که ایزومورفیسم میان $V$ و $\mathbb{F}^n$ را از طریق نگاشت $v \mapsto (a_1, \dots, a_n)$ پایه‌گذاری می‌کند.