صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

فرض کنید $v_1, \dots, v_m$ یک لیست از بردارها در $V$ باشد. برای هر $k \in \{1, \dots, m\}$ فرض کنید:

$$w_k = v_1 + \dots + v_k$$

نشان دهید $v_1, \dots, v_m$ یک پایه از $V$ است اگر و فقط اگر $w_1, \dots, w_m$ یک پایه از $V$ باشد.

اثبات کامل دو شرطی

گام اول (هم‌ارزی اسپن‌ها): ادعا می‌کنیم $\operatorname{span}(v_1, \dots, v_m) = \operatorname{span}(w_1, \dots, w_m)$.

• از رابطه $w_k = \sum_{i=1}^k v_i$ نتیجه می‌شود که هر $w_k$ ترکیبی خطی از بردارهای $v_1, \dots, v_m$ است. بنابراین: $$\operatorname{span}(w_1, \dots, w_m) \subseteq \operatorname{span}(v_1, \dots, v_m)$$
• از طرف دیگر روابط معکوس را بررسی می‌کنیم: $$v_1 = w_1$$ $$v_2 = w_2 - w_1$$ $$v_3 = w_3 - w_2$$ $$\vdots$$ $$v_m = w_m - w_{m-1}$$ بنابراین هر $v_k$ ترکیبی خطی از بردارهای $w_1, \dots, w_m$ است. پس: $$\operatorname{span}(v_1, \dots, v_m) \subseteq \operatorname{span}(w_1, \dots, w_m)$$ از شمول دوطرفه نتیجه می‌شود: $$\operatorname{span}(v_1, \dots, v_m) = \operatorname{span}(w_1, \dots, w_m) \quad \text{--- (۱)}$$ نتیجه: $v_1, \dots, v_m$ فضا را اسپن می‌کند اگر و فقط اگر $w_1, \dots, w_m$ فضا را اسپن کند.

گام دوم (هم‌ارزی استقلال خطی):

بخش ($\implies$): فرض کنید $(v_1, \dots, v_m)$ مستقل خطی باشد. فرض کنید:

$$c_1 w_1 + c_2 w_2 + \dots + c_m w_m = 0$$

با جایگذاری تعریف $w_k$:

$$c_1 v_1 + c_2 (v_1 + v_2) + \dots + c_m (v_1 + \dots + v_m) = 0$$

جمع‌آوری ضرایب هر $v_i$:

$$(c_1 + c_2 + \dots + c_m) v_1 + (c_2 + \dots + c_m) v_2 + \dots + (c_{m-1} + c_m) v_{m-1} + c_m v_m = 0$$

چون $(v_1, \dots, v_m)$ مستقل خطی است، تک‌تک این ضرایب صفرند:

$$c_m = 0$$

$$c_{m-1} + c_m = 0 \implies c_{m-1} = 0$$

$$\vdots$$

$$c_1 + c_2 + \dots + c_m = 0 \implies c_1 = 0$$

پس $c_1 = c_2 = \dots = c_m = 0$. در نتیجه $(w_1, \dots, w_m)$ مستقل خطی است.

بخش ($\impliedby$): فرض کنید $(w_1, \dots, w_m)$ مستقل خطی باشد. فرض کنید:

$$d_1 v_1 + d_2 v_2 + \dots + d_m v_m = 0$$

به جای $v_k$ معادل آن بر حسب $w$ را قرار می‌دهیم:

$$d_1 w_1 + d_2 (w_2 - w_1) + d_3 (w_3 - w_2) + \dots + d_m (w_m - w_{m-1}) = 0$$

مرتب‌سازی بر حسب $w_k$:

$$(d_1 - d_2) w_1 + (d_2 - d_3) w_2 + \dots + (d_{m-1} - d_m) w_{m-1} + d_m w_m = 0$$

چون $(w_1, \dots, w_m)$ مستقل خطی است:

$$d_m = 0$$

$$d_{m-1} - d_m = 0 \implies d_{m-1} = 0$$

$$\vdots$$

$$d_1 - d_2 = 0 \implies d_1 = 0$$

پس $d_1 = d_2 = \dots = d_m = 0$. در نتیجه $(v_1, \dots, v_m)$ مستقل خطی است.

گام سوم: چون هم استقلال خطی و هم خاصیت مولد بودن دو لیست هم‌ارز یکدیگرند، پایه بودن یکی مستلزم و معادل پایه بودن دیگری است. $\blacksquare$

ماتریس تبدیل و تغییر مبنا

• ماتریس ضرایب تبدیل $v$ به $w$ یک ماتریس پایین مثلثی با درایه‌های ۱ روی قطر اصلی و زیر قطر است. دترمینان آن ۱ است. ماتریس معکوس آن نیز دارای ۱ روی قطر اصلی و $-1$ روی زیرقطر اول است. چون این تبدیل خطی یک ایزومورفیسم است، هر پایه را به پایه‌ای دیگر می‌نگارد.