صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

فرض کنید $V$ با بعد متناهی و $U$ یک زیرفضای $V$ با $U \neq V$ است. فرض کنید $n = \dim V$ و $m = \dim U$. ثابت کنید $n - m$ زیرفضا از $V$ وجود دارند، هر کدام با بعد $n - 1$ (ابرصفحه)، که اشتراک آن‌ها برابر با $U$ است.

اثبات ساختاری با گسترش پایه

گام اول: گسترش پایه $U$ به پایه $V$ فرض کنید $(u_1, \dots, u_m)$ یک پایه برای $U$ باشد ($\dim U = m$). چون $U$ زیرفضای $V$ و $m < n$ است، طبق قضیه گسترش پایه (قضیه ۳۱.۲ آکسلر)، می‌توان این لیست را با افزودن $n - m$ بردار مانند $v_1, \dots, v_{n-m}$ به یک پایه برای $V$ گسترش داد:

$$\mathcal{B} = (u_1, \dots, u_m, v_1, \dots, v_{n-m})$$

به طوری که $\mathcal{B}$ یک پایه برای $V$ است و طول آن برابر $n = \dim V$ می‌باشد.

گام دوم: ساخت زیرفضاهای $(n-1)$-بعدی برای هر $j \in \{1, \dots, n-m\}$، زیرفضای $W_j$ را به صورت اسپن تمامی اعضای پایه $\mathcal{B}$ به استثنای بردار $v_j$ تعریف می‌کنیم:

$$W_j = \operatorname{span}\big( u_1, \dots, u_m, \, v_1, \dots, \widehat{v_j}, \dots, v_{n-m} \big)$$

(نماد $\widehat{v_j}$ نشان‌دهنده حذف بردار $v_j$ از لیست است). لیست مولد $W_j$ یک زیرلیست از پایه مستقل خطی $\mathcal{B}$ است، پس خودش مستقل خطی است. تعداد بردارهای این لیست دقیقاً برابر است با:

$$m + (n - m - 1) = n - 1$$

بنابراین لیست مولد $W_j$ یک پایه برای $W_j$ است، و در نتیجه:

$$\dim W_j = n - 1 \quad \forall j \in \{1, \dots, n-m\}$$

گام سوم: اثبات این که $\bigcap_{j=1}^{n-m} W_j = U$ برای اثبات تساوی دو مجموعه، شمول دوطرفه را نشان می‌دهیم:

۱. شمول $U \subseteq \bigcap_{j=1}^{n-m} W_j$: به ازای هر $j \in \{1, \dots, n-m\}$، بردارهای $u_1, \dots, u_m$ در لیست مولد $W_j$ حضور دارند. بنابراین:

$$U = \operatorname{span}(u_1, \dots, u_m) \subseteq W_j \quad (\forall j)$$

چون $U$ زیرمجموعه تک‌تک $W_j$هاست، پس زیرمجموعه اشتراک آن‌ها نیز هست:

$$U \subseteq \bigcap_{j=1}^{n-m} W_j$$

۲. شمول $\bigcap_{j=1}^{n-m} W_j \subseteq U$: فرض کنید $x \in \bigcap_{j=1}^{n-m} W_j$. چون $x \in V$ و $\mathcal{B}$ پایه‌ای برای $V$ است، بردار $x$ نمایشی یکتا بر حسب پایه‌ دارد:

$$x = a_1 u_1 + \dots + a_m u_m + c_1 v_1 + \dots + c_{n-m} v_{n-m} \quad \text{--- (۱)}$$

برای هر $j \in \{1, \dots, n-m\}$ دلخواه: چون $x \in W_j$ و $W_j$ اسپن بردارهای فاقد $v_j$ است، $x$ به صورت ترکیبی خطی بدون حضور $v_j$ نیز قابل بیان است (یعنی با ضریب $v_j$ برابر صفر). اما نمایش هر بردار بر حسب پایه $\mathcal{B}$ طبق قضیه ۲۸.۲ یکتا است. بنابراین ضریب $v_j$ در رابطه (۱) الزاماً باید برابر صفر باشد:

$$c_j = 0$$

چون این استدلال برای تمام $j \in \{1, \dots, n-m\}$ برقرار است، پس:

$$c_1 = c_2 = \dots = c_{n-m} = 0$$

با جایگذاری این ضرایب صفر در نمایش (۱):

$$x = a_1 u_1 + \dots + a_m u_m \in \operatorname{span}(u_1, \dots, u_m) = U$$

پس $\bigcap_{j=1}^{n-m} W_j \subseteq U$.

نتیجه نهایی: از شمول دوطرفه، تساوی دقیقاً برقرار است:

$$U = \bigcap_{j=1}^{n-m} W_j$$

حکم به طور کامل اثبات شد. $\blacksquare$

ارتباط با دستگاه معادلات خطی و فضای دوگان

• این قضیه از نظر هندسی و تحلیلی بسیار عمیق است: هر معادله خطی همگن معرف یک ابرصفحه ($(n-1)$-بعدی) است. این قضیه می‌گوید هر زیرفضای $m$-بعدی در واقع اشتراک دقیق $n - m$ ابرصفحه است؛ یعنی جواب یک دستگاه معادلات با $n - m$ معادله خطی همگن مستقل!