صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

همه ادعاها در مثال ۲۷.۲ را به طور کامل بررسی و اثبات کنید: ۱. لیست $( (1,0,\dots,0), (0,1,\dots,0), \dots, (0,\dots,0,1) )$ یک پایه از $\mathbb{F}^n$ است. ۲. لیست $((1, 2), (3, 5))$ یک پایه از $\mathbb{F}^2$ است. ۳. لیست $((1, 2, -4), (7, -5, 6))$ در $\mathbb{F}^3$ مستقل خطی است اما پایه نیست. ۴. لیست $((1, 2), (3, 5), (4, 13))$ مولد $\mathbb{F}^2$ است اما پایه نیست. ۵. لیست $((1, 1, 0), (0, 0, 1))$ پایه‌ای از $\mathbb{F}^3$ نیست. ۶. لیست $(1, z, z^2, \dots, z^m)$ یک پایه از $\mathcal{P}_m(\mathbb{F})$ است.

بررسی تک‌به‌تک بخش‌های مثال ۲۷.۲

بخش ۱ (پایه استاندارد $\mathbb{F}^n$): بردارها را با $e_1, e_2, \dots, e_n$ نشان می‌دهیم.

• استقلال خطی: اگر $a_1 e_1 + \dots + a_n e_n = (a_1, a_2, \dots, a_n) = (0, 0, \dots, 0)$، بلافاصله نتیجه می‌شود $a_1 = a_2 = \dots = a_n = 0$.
• مولد بودن: هر بردار دلخواه $(x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{F}^n$ را می‌توان نوشت: $$(x_1, \dots, x_n) = x_1 e_1 + x_2 e_2 + \dots + x_n e_n$$ پس لیست یک پایه است.

بخش ۲ (پایه بودن $((1,2), (3,5))$ در $\mathbb{F}^2$):

• استقلال خطی: $a(1,2) + b(3,5) = (0,0) \implies a + 3b = 0$ و $2a + 5b = 0$. از اولی $a = -3b$، جایگذاری در دومی: $2(-3b) + 5b = -b = 0 \implies b = 0 \implies a = 0$.
• مولد بودن: برای هر $(x, y) \in \mathbb{F}^2$ دستگاه زیر را حل می‌کنیم: $$a + 3b = x, \quad 2a + 5b = y$$ دترمینان ضرایب $1(5) - 3(2) = -1 eq 0$ است؛ لذا دستگاه همواره جواب یکتای $b = 2x - y$ و $a = 3y - 5x$ دارد. بنابراین لیست یک پایه از $\mathbb{F}^2$ است.

بخش ۳ (مستقل خطی بودن و پایه نبودن $((1, 2, -4), (7, -5, 6))$ در $\mathbb{F}^3$):

• استقلال خطی: چون دو بردار داریم و مولفه‌های اول نشان می‌دهد بردار دوم نمی‌تواند مضرب بردار اول باشد ($7/1 eq -5/2$)، این دو بردار مستقل خطی‌اند.
• عدم پوشش (پایه نبودن): بعد $\mathbb{F}^3$ برابر ۳ است و هر پایه باید شامل ۳ بردار باشد. یا مستقیماً بردار $(0, 0, 1)$ در اسپن این دو نیست؛ زیرا اگر $a(1,2,-4) + b(7,-5,6) = (0,0,1)$ باشد، از دو معادله اول $a+7b=0$ و $2a-5b=0$ نتیجه می‌شود $a=b=0$ که معادله سوم $-4a+6b=1$ را نقض می‌کند.

بخش ۴ (مولد بودن و پایه نبودن $((1,2), (3,5), (4,13))$ در $\mathbb{F}^2$):

• مولد بودن: دو بردار اول $((1,2), (3,5))$ طبق بخش ۲ خودشان کل $\mathbb{F}^2$ را اسپن می‌کنند، پس اضافه کردن بردار سوم خللی در پوشش ایجاد نمی‌کند و کل $\mathbb{F}^2$ پوشش داده می‌شود.
• عدم استقلال خطی: ۳ بردار در فضای دوبعدی همواره وابسته‌اند. رابطه صریح وابستگی: $$19(1,2) - 5(3,5) - (4,13) = (19-15-4, 38-25-13) = (0,0)$$ بنابراین پایه نیست.

بخش ۵ (پایه نبودن $((1,1,0), (0,0,1))$ در $\mathbb{F}^3$): طول این لیست ۲ است در حالی که $\dim \mathbb{F}^3 = 3$. بردار $(1, 0, 0)$ در اسپن این دو بردار نیست، زیرا هر بردار در اسپن آن‌ها دارای مؤلفه‌های اول و دوم برابر است ($a(1,1,0)+b(0,0,1) = (a,a,b)$).

بخش ۶ (پایه بودن $(1, z, z^2, \dots, z^m)$ در $\mathcal{P}_m(\mathbb{F})$):

• استقلال خطی: اگر $a_0 \cdot 1 + a_1 z + \dots + a_m z^m = 0$ (چندجمله‌ای صفر)، طبق تعریف چندجمله‌ای صفر در جبر خطی، تمامی ضرایب $a_0 = a_1 = \dots = a_m = 0$ هستند.
• مولد بودن: هر عضو $\mathcal{P}_m(\mathbb{F})$ بنا به تعریف به فرم $\sum_{i=0}^m c_i z^i$ است که دقیقاً ترکیبی خطی از اعضای این لیست است. لذا این لیست یک پایه برای $\mathcal{P}_m(\mathbb{F})$ است. lacksquare

نکات کلیدی

• در فضاهای برداری، هر چندجمله‌ای یک تابع در نظر گرفته می‌شود اما تساوی آن با تابع صفر در میدانی نامتناهی ($\mathbb{R}$ یا $\mathbb{C}$) مستلزم صفر بودن تمامی ضرایب آن است (به دلیل قضیه اساسی جبر: یک چندجمله‌ای درجه $m$ حداکثر $m$ ریشه دارد مگر آنکه صفر باشد).