صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

همه فضاهای برداری که دقیقاً یک پایه دارند را پیدا کنید.

$$V = ext{?}$$

اثبات یکتایی برای فضای صفر و رد سایر فضاها

گام اول (بررسی فضای برداری صفر): فرض کنید $V = \{0\}$. طبق تعریف، لیست تهی $()$ دارای طول $0$ است.

• لیست تهی مستقل خطی است (زیرا هیچ رابطه ترکیب خطی غیربدیهی بین اعضای ناموجود برقرار نیست).
• اسپن لیست تهی طبق تعریف برابر $\{0\}$ است: $\operatorname{span}() = \{0\}$. بنابراین لیست تهی $()$ یک پایه برای $\{0\}$ است. از سوی دیگر، هر لیست ناتهی از بردارهای $\{0\}$ تنها می‌تواند شامل بردار صفر باشد، به عنوان مثال $(0)$ یا $(0, 0)$. اما هر لیستی که شامل بردار صفر باشد، وابسته خطی است ($1 \cdot 0 = 0$). بنابراین هیچ لیست دیگری نمی‌تواند پایه $V = \{0\}$ باشد. نتیجه: فضای $\{0\}$ دقیقاً یک پایه دارد.

گام دوم (بررسی فضاهای برداری غیر صفر): فرض کنید $V eq \{0\}$. دو حالت پیش می‌آید:

• حالت الف (فضای با بعد متناهی): چون $V eq \{0\}$، بعد فضا $n \ge 1$ است. طبق قضیه وجود پایه، $V$ دارای یک پایه مانند $(v_1, v_2, \dots, v_n)$ است که در آن $v_1 eq 0$. میدان $\mathbb{F}$ برابر $\mathbb{R}$ یا $\mathbb{C}$ است که بی‌نهایت اسکالر ناصفر دارند. به ازای هر اسکالر ناصفر $c \in \mathbb{F} \setminus \{0, 1\}$، لیست زیر را در نظر بگیرید: $$(c v_1, v_2, \dots, v_n)$$ ادعا می‌کنیم این لیست نیز یک پایه برای $V$ است: ۱. استقلال خطی: اگر $a_1 (c v_1) + a_2 v_2 + \dots + a_n v_n = 0$، آنگاه $(a_1 c) v_1 + a_2 v_2 + \dots + a_n v_n = 0$. به دلیل استقلال خطی پایه اول، داریم $a_1 c = a_2 = \dots = a_n = 0$. چون $c eq 0$، پس $a_1 = 0$. ۲. مولد بودن: هر بردار $v \in V$ به صورت $v = k_1 v_1 + \dots + k_n v_n$ است که می‌توان آن را به صورت $v = (k_1 c^{-1})(c v_1) + \dots + k_n v_n$ نوشت. چون $c eq 1$، لیست $(c v_1, v_2, \dots, v_n)$ متمایز از $(v_1, v_2, \dots, v_n)$ است. با توجه به نامتناهی بودن انتخاب‌های $c$، این فضا بی‌نهایت پایه دارد.
• حالت ب (فضای با بعد نامتناهی): طبق اصل انتخاب هر فضای برداری دارای پایه همل است، و مشابه حالت قبل با تغییر ضرایب اسکالر می‌توان بی‌نهایت پایه ساخت.

گام سوم (نتیجه نهایی): تنها فضای برداری که دقیقاً یک پایه دارد، فضای برداری صفر $V = \{0\}$ است. lacksquare

نکات باریک‌تر از مو

• دام تعریف پایه: دقت کنید که پایه در کتاب آکسلر یک لیست (دنباله مرتب) است، نه یک مجموعه. بنابراین حتی جابه‌جا کردن ترتیب اعضای پایه در فضاهای با بعد $\ge 2$ پایه جدیدی تولید می‌کند ($(v_1, v_2) eq (v_2, v_1)$).
• دام فضای صفر: برخی دانشجویان گمان می‌کنند فضای $\{0\}$ اصلاً پایه‌ای ندارد یا پایه‌اش $\{0\}$ است! پایه فضای صفر، لیست تهی $()$ است که طول آن صفر می‌باشد ($\dim \{0\} = 0$).
• میدان متناهی: اگر میدان تعریف مسئله $\mathbb{F}_2$ بود، برای فضای تک‌بعدی $V = \mathbb{F}_2$ تنها اسکالر ناصفر $c=1$ بود و اگر مفهوم مجموعه بودن پایه ملاک می‌بود باید دقت بیشتری می‌شد، اما روی $\mathbb{R}$ و $\mathbb{C}$ همواره بی‌نهایت اسکالر داریم.