صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

فرض کنید $v_1, v_2, v_3, v_4$ یک پایه از $V$ است. ثابت کنید که:

$$v_1 + v_2, \; v_2 + v_3, \; v_3 + v_4, \; v_4$$

نیز یک پایه از $V$ است.

اثبات به دو روش مستقل خطی و پوشش مستقیم

روش اول: اثبات مستقیم استقلال خطی

فرض کنید برای اسکالرهای $c_1, c_2, c_3, c_4 \in \mathbb{F}$ داشته باشیم:

$$c_1 (v_1 + v_2) + c_2 (v_2 + v_3) + c_3 (v_3 + v_4) + c_4 v_4 = 0$$

جملات را بر حسب بردارهای پایه اصلی مرتب می‌کنیم:

$$c_1 v_1 + (c_1 + c_2) v_2 + (c_2 + c_3) v_3 + (c_3 + c_4) v_4 = 0$$

از آنجا که لیست $(v_1, v_2, v_3, v_4)$ یک پایه است، پس مستقل خطی است؛ بنابراین تمامی ضرایب باید صفر باشند: ۱) $c_1 = 0$ ۲) $c_1 + c_2 = 0 \implies 0 + c_2 = 0 \implies c_2 = 0$ ۳) $c_2 + c_3 = 0 \implies 0 + c_3 = 0 \implies c_3 = 0$ ۴) $c_3 + c_4 = 0 \implies 0 + c_4 = 0 \implies c_4 = 0$

بنابراین تمامی ضرایب $c_1 = c_2 = c_3 = c_4 = 0$ هستند. این نشان می‌دهد که لیست $(u_1, u_2, u_3, u_4)$ مستقل خطی است.

روش دوم: اثبات مولد بودن

نشان می‌دهیم بردارهای پایه اصلی در اسپن این لیست قرار دارند:

• $v_4 = u_4 \in \operatorname{span}(u_1, u_2, u_3, u_4)$
• $v_3 = u_3 - v_4 = u_3 - u_4 \in \operatorname{span}(u_1, u_2, u_3, u_4)$
• $v_2 = u_2 - v_3 = u_2 - u_3 + u_4 \in \operatorname{span}(u_1, u_2, u_3, u_4)$
• $v_1 = u_1 - v_2 = u_1 - u_2 + u_3 - u_4 \in \operatorname{span}(u_1, u_2, u_3, u_4)$

چون تمام اعضای پایه اصلی $v_1, v_2, v_3, v_4$ در اسپن لیست جدید قرار دارند، پس:

$$V = \operatorname{span}(v_1, v_2, v_3, v_4) \subseteq \operatorname{span}(u_1, u_2, u_3, u_4)$$

بنابراین لیست جدید کل $V$ را اسپن می‌کند.

نتیجه‌گیری: لیست $(u_1, u_2, u_3, u_4)$ مستقل خطی و مولد $V$ است، پس یک پایه برای $V$ است. $\blacksquare$

ساختار ماتریس بالا مثلثی

• ماتریس تغییر پایه در این مسئله یک ماتریس بالا مثلثی با درایه‌های قطر اصلی ۱ است: $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ دترمینان این ماتریس برابر ۱ است (همواره ناصفر)، که نشان می‌دهد نگاشت تغییر مختصات یک‌به‌یک و پوشاست.
• اگر ترکیب به صورت دوری می‌بود، یعنی $v_1+v_2, v_2+v_3, v_3+v_4, v_4+v_1$، آنگاه در مشخصه ۲ یا در ابعاد زوج ممکن بود وابسته خطی شود ($(v_1+v_2) - (v_2+v_3) + (v_3+v_4) - (v_4+v_1) = 0$). در اینجا بردار آخر $v_4$ است و حلقه بسته نشده، لذا استقلال همواره برقرار است.