صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

فرض کنید $V$ با بعد متناهی باشد و $U, W$ زیرفضاهایی از $V$ باشند به طوری که $V = U + W$. ثابت کنید یک پایه از $V$ متشکل از بردارهای $U \cup W$ وجود دارد.

اثبات به روش کاهش لیست مولد

گام اول (انتخاب پایه‌ها): چون $V$ بعد متناهی است، زیرفضاهای آن یعنی $U$ و $W$ نیز دارای بعد متناهی هستند. فرض کنید:

$$(u_1, u_2, \dots, u_m)$$

یک پایه برای $U$ باشد، و

$$(w_1, w_2, \dots, w_k)$$

یک پایه برای $W$ باشد.

گام دوم (تشکیل لیست الحاقی): لیست الحاقی زیر را تشکیل می‌دهیم:

$$L = (u_1, \dots, u_m, w_1, \dots, w_k)$$

ادعا می‌کنیم $\operatorname{span}(L) = V$: هر بردار $v \in V$ چون $V = U + W$ است، به صورت $v = u + w$ با $u \in U$ و $w \in W$ نوشته می‌شود. چون $u \in \operatorname{span}(u_1, \dots, u_m)$ و $w \in \operatorname{span}(w_1, \dots, w_k)$، پس $v$ ترکیبی خطی از اعضای لیست $L$ است. بنابراین:

$$\operatorname{span}(L) = V$$

گام سوم (بررسی تعلق اعضا): به وضوح برای هر $i \in \{1, \dots, m\}$ داریم $u_i \in U \subseteq U \cup W$. و برای هر $j \in \{1, \dots, k\}$ داریم $w_j \in W \subseteq U \cup W$. بنابراین تک‌تک اعضای لیست $L$ در $U \cup W$ قرار دارند.

گام چهارم (کاهش به پایه): طبق قضیه ۲۹.۲ آکسلر (هر لیست مولد شامل یک پایه است)، می‌توان با حذف بردارهای وابسته از لیست $L$ به یک لیست مستقل خطی $B$ رسید که هنوز کل $V$ را اسپن می‌کند. لیست $B$ یک زیرلیست از $L$ است. از آنجا که $B$ زیرلیستی از $L$ است، هر بردار موجود در $B$ حتماً یکی از اعضای $L$ است و در نتیجه متعلق به $U \cup W$ می‌باشد. بنابراین $B$ پایه‌ای برای $V$ است که تمام اعضای آن در $U \cup W$ قرار دارند. $\blacksquare$

دام‌های مفهومی

• اجتماع زیرفضاها زیرفضا نیست: به یاد داشته باشید $U \cup W$ در حالت کلی زیرفضا نیست، مگر آنکه یکی زیرمجموعه دیگری باشد. اما این مسئله در مورد زیرفضا بودن $U \cup W$ نیست، بلکه درباره انتخاب اعضای پایه از داخل این مجموعه است.
• اشتراک ناصفر: اگر $U \cap W \neq \{0\}$ باشد، لیست الحاقی $L$ حتماً وابسته خطی خواهد بود، لذا گام کاهش ضروری است.