صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

فرض کنید $V$ یک فضای برداری حقیقی باشد. نشان دهید اگر $v_1, \dots, v_n$ یک پایه از $V$ (به عنوان یک فضای برداری حقیقی) باشد، آنگاه $v_1, \dots, v_n$ همچنین یک پایه از مختلط‌سازی $V_{\mathbb{C}}$ (به عنوان یک فضای برداری مختلط) است.

اثبات کامل ویژگی‌های پایه در مختلط‌سازی

گام اول: اثبات مولد بودن روی $\mathbb{C}$ یک بردار دلخواه $w \in V_{\mathbb{C}}$ را در نظر بگیرید. بنا به تعریف مختلط‌سازی، بردارهایی مانند $u, v \in V$ وجود دارند به طوری که:

$$w = u + iv$$

از آنجا که $(v_1, \dots, v_n)$ پایه‌ای برای $V$ روی $\mathbb{R}$ است، اسکالرهای حقیقی $a_1, \dots, a_n \in \mathbb{R}$ و $b_1, \dots, b_n \in \mathbb{R}$ وجود دارند به طوری که:

$$u = \sum_{k=1}^n a_k v_k, \quad v = \sum_{k=1}^n b_k v_k$$

با جایگذاری در رابطه $w$:

$$w = \sum_{k=1}^n a_k v_k + i \left( \sum_{k=1}^n b_k v_k \right)$$

طبق تعریف جمع و ضرب اسکالر در $V_{\mathbb{C}}$:

$$w = \sum_{k=1}^n (a_k + i b_k) v_k$$

چون برای هر $k$، اسکالر $c_k = a_k + i b_k \in \mathbb{C}$ است، نشان دادیم هر عضو $w \in V_{\mathbb{C}}$ ترکیبی خطی با ضرایب مختلط از بردارهای $v_1, \dots, v_n$ است. بنابراین:

$$\operatorname{span}_{\mathbb{C}}(v_1, \dots, v_n) = V_{\mathbb{C}}$$

گام دوم: اثبات استقلال خطی روی $\mathbb{C}$ فرض کنید اسکالرهای مختلط $c_1, \dots, c_n \in \mathbb{C}$ وجود داشته باشند به طوری که:

$$\sum_{k=1}^n c_k v_k = 0_{V_{\mathbb{C}}} \quad \text{--- (۱)}$$

هر اسکالر مختلط $c_k$ را به فرم جبری آن می‌نویسیم: $c_k = a_k + i b_k$ که در آن $a_k, b_k \in \mathbb{R}$. با جایگذاری در معادله (۱):

$$\sum_{k=1}^n (a_k + i b_k) v_k = 0 + i0$$

طبق تعریف ضرب و جمع در مختلط‌سازی:

$$\left( \sum_{k=1}^n a_k v_k \right) + i \left( \sum_{k=1}^n b_k v_k \right) = 0 + i0$$

دو بردار در $V_{\mathbb{C}}$ برابرند اگر و فقط اگر مؤلفه‌های حقیقی و موهومی آن‌ها در $V$ دقیقاً برابر باشند. پس:

$$\sum_{k=1}^n a_k v_k = 0 \quad \text{و} \quad \sum_{k=1}^n b_k v_k = 0$$

اما $(v_1, \dots, v_n)$ یک پایه برای فضای برداری حقیقی $V$ است و بنابراین روی $\mathbb{R}$ مستقل خطی است. از استقلال خطی روی $\mathbb{R}$ نتیجه می‌شود:

$$a_1 = a_2 = \dots = a_n = 0$$

$$b_1 = b_2 = \dots = b_n = 0$$

در نتیجه برای هر $k \in \{1, \dots, n\}$:

$$c_k = a_k + i b_k = 0 + i 0 = 0$$

بنابراین تمامی ضرایب مختلط صفر هستند، که نشان می‌دهد لیست $(v_1, \dots, v_n)$ روی میدان $\mathbb{C}$ در $V_{\mathbb{C}}$ مستقل خطی است.

نتیجه نهایی: لیست $(v_1, \dots, v_n)$ هم مولد $V_{\mathbb{C}}$ روی $\mathbb{C}$ است و هم روی $\mathbb{C}$ مستقل خطی است؛ بنابراین یک پایه برای $V_{\mathbb{C}}$ به عنوان فضای برداری مختلط است. $\blacksquare$

تفاوت ابعاد حقیقی و مختلط

• بعد فضای $V$ روی $\mathbb{R}$ برابر $n$ است.
• بعد مختلط‌سازی $V_{\mathbb{C}}$ روی $\mathbb{C}$ نیز دقیقاً برابر $n$ است: $\dim_{\mathbb{C}} V_{\mathbb{C}} = \dim_{\mathbb{R}} V = n$.
• اما اگر $V_{\mathbb{C}}$ را صرفاً به عنوان یک فضای برداری حقیقی نگاه کنیم، بعد آن $2n$ است و پایه‌ای برای آن به صورت $(v_1, \dots, v_n, iv_1, \dots, iv_n)$ خواهد بود.