صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

فرض کنید $U$ زیرفضایی از $\mathbb{R}^5$ باشد که با معادلات زیر تعریف می‌شود:

U = ig\{ (x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) \in \mathbb{R}^5 : x_1 = 3x_2 ext{ و } x_3 = 7x_4 ig\}

الف) یک پایه برای $U$ پیدا کنید. ب) پایه به دست آمده در (الف) را به یک پایه برای $\mathbb{R}^5$ گسترش دهید. ج) یک زیرفضای $W$ از $\mathbb{R}^5$ پیدا کنید به طوری که $\mathbb{R}^5 = U \oplus W$.

حل گام‌به‌گام و محاسباتی

بخش الف: یافتن پایه برای $U$

یک بردار دلخواه $(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) \in U$ را در نظر می‌گیریم: به جای $x_1$ مقدار $3x_2$ و به جای $x_3$ مقدار $7x_4$ قرار می‌دهیم:

$$(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) = (3x_2, x_2, 7x_4, x_4, x_5)$$

این بردار را بر حسب متغیرهای آزاد $x_2, x_4, x_5$ تفکیک می‌کنیم:

$$(3x_2, x_2, 7x_4, x_4, x_5) = x_2 (3, 1, 0, 0, 0) + x_4 (0, 0, 7, 1, 0) + x_5 (0, 0, 0, 0, 1)$$

بنابراین بردارهای زیر را تعریف می‌کنیم:

$$u_1 = (3, 1, 0, 0, 0), \quad u_2 = (0, 0, 7, 1, 0), \quad u_3 = (0, 0, 0, 0, 1)$$

• مولد بودن: هر عضو $U$ ترکیبی خطی از $u_1, u_2, u_3$ است.
• استقلال خطی: اگر $c_1 u_1 + c_2 u_2 + c_3 u_3 = 0$ باشد: $$(3c_1, c_1, 7c_2, c_2, c_3) = (0, 0, 0, 0, 0) \implies c_1 = c_2 = c_3 = 0$$ پس لیست $(u_1, u_2, u_3)$ یک پایه برای $U$ است و $\dim U = 3$.

بخش ب: گسترش پایه $U$ به پایه $\mathbb{R}^5$

نیاز داریم دو بردار مستقل به این لیست اضافه کنیم به گونه‌ای که کل فضا را پوشش دهند. بردارهای پایه استاندارد $e_1 = (1, 0, 0, 0, 0)$ و $e_3 = (0, 0, 1, 0, 0)$ را در نظر می‌گیریم. ادعا می‌کنیم لیست $(u_1, u_2, u_3, e_1, e_3)$ پایه‌ای برای $\mathbb{R}^5$ است: بررسی استقلال خطی:

$$a_1 u_1 + a_2 u_2 + a_3 u_3 + b_1 e_1 + b_2 e_3 = 0$$

$$(3a_1 + b_1, a_1, 7a_2 + b_2, a_2, a_3) = (0, 0, 0, 0, 0)$$

از مؤلفه دوم: $a_1 = 0 \implies b_1 = 0$. از مؤلفه چهارم: $a_2 = 0 \implies b_2 = 0$. از مؤلفه پنجم: $a_3 = 0$. بنابراین تمام ضرایب صفر هستند و این ۵ بردار در $\mathbb{R}^5$ مستقل خطی‌اند. چون طول لیست ۵ و برابر بعد $\mathbb{R}^5$ است، طبق قضیه بعد، یک پایه برای $\mathbb{R}^5$ است.

بخش ج: یافتن متمم مستقیم $W$

طبق ساختار قضیه گسترش پایه، زیرفضای حاصل از اسپن بردارهای اضافه شده را به عنوان $W$ تعریف می‌کنیم:

W = \operatorname{span}(e_1, e_3) = ig\{ (a, 0, c, 0, 0) \in \mathbb{R}^5 : a, c \in \mathbb{R} ig\}

اثبات جمع مستقیم بودن: ۱. $U + W = \operatorname{span}(u_1, u_2, u_3, e_1, e_3) = \mathbb{R}^5$. ۲. بررسی اشتراک: اگر $v \in U \cap W$ باشد، چون $v \in W$ پس مؤلفه‌های دوم، چهارم و پنجم آن صفرند: $v = (a, 0, c, 0, 0)$. چون $v \in U$، باید در معادلات $U$ صدق کند:

$$a = 3(0) = 0 \quad ext{و} \quad c = 7(0) = 0 \implies v = (0, 0, 0, 0, 0)$$

پس $U \cap W = \{0\}$. بنابراین $\mathbb{R}^5 = U \oplus W$. lacksquare

دام‌های امتحانی

• یکتا نبودن متمم: دقت کنید که متمم مستقیم $W$ به هیچ وجه یکتا نیست! شما می‌توانستید به جای $e_1, e_3$ از $e_2, e_4$ نیز استفاده کنید. اما پایه بخش (الف) بعد را یکتا معین می‌کند.
• انتخاب هوشمندانه برای گسترش: بردارهایی را برای اضافه کردن انتخاب کنید که در مؤلفه‌های صفر بردارهای قبلی قرار دارند تا ماتریس متناظر مثلثی شده و استقلال خطی بدیهی شود.