صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

فرض کنید $m$ یک عدد صحیح مثبت است. برای هر $0 \le k \le m$ فرض کنید:

$$p_k(x) = x^k (1 - x)^{m - k}$$

نشان دهید $p_0, p_1, \dots, p_m$ یک پایه از $\mathcal{P}_m(\mathbb{F})$ است.

اثبات به روش ریشه‌گذاری متوالی و استقرا

گام اول: نگارش معادله استقلال خطی فرض کنید $c_0, c_1, \dots, c_m \in \mathbb{F}$ اسکالرهایی باشند به طوری که:

$$\sum_{k=0}^m c_k p_k(x) = 0 \quad (\forall x \in \mathbb{F})$$

یعنی:

$$c_0 (1-x)^m + c_1 x (1-x)^{m-1} + c_2 x^2 (1-x)^{m-2} + \dots + c_m x^m = 0 \quad \text{--- (۱)}$$

گام دوم: محاسبه $c_0$ در تساوی (۱) مقدار $x = 0$ را قرار می‌دهیم: برای هر $k \ge 1$، بردار $p_k(0) = 0^k (1 - 0)^{m-k} = 0$ است. برای $k = 0$ داریم:

$$p_0(0) = 0^0 (1 - 0)^m = 1 \cdot 1^m = 1$$

بنابراین تساوی (۱) در $x = 0$ به صورت زیر درمی‌آید:

$$c_0 \cdot 1 + 0 + \dots + 0 = 0 \implies c_0 = 0$$

گام سوم: استقرا برای سایر ضرایب با جایگذاری $c_0 = 0$، تساوی (۱) به صورت زیر ساده می‌شود:

$$\sum_{k=1}^m c_k x^k (1-x)^{m-k} = 0$$

از آنجا که این رابطه برای تمامی مقادیر $x$ در میدان برقرار است (و میدان $\mathbb{F} = \mathbb{R}$ یا $\mathbb{C}$ نامتناهی است)، می‌توانیم بر چندجمله‌ای ناصفر $x$ تقسیم کنیم:

$$\sum_{k=1}^m c_k x^{k-1} (1-x)^{m-k} = 0$$

حال مجدداً در این رابطه جدید $x = 0$ قرار می‌دهیم:

• جمله متناظر با $k = 1$ برابر است با $c_1 x^0 (1-0)^{m-1} = c_1 \cdot 1$.
• برای تمام جملات با $k \ge 2$، عامل $x^{k-1}$ با قرار دادن $x = 0$ صفر می‌شود. بنابراین: $$c_1 = 0$$

با تکرار این استدلال (تقسیم بر $x$ و سپس ارزیابی در نقطه $x = 0$) به ازای هر $k$ از $0$ تا $m$، نتیجه می‌گیریم:

$$c_0 = c_1 = c_2 = \dots = c_m = 0$$

بنابراین لیست چندجمله‌ای‌های $(p_0, p_1, \dots, p_m)$ در $\mathcal{P}_m(\mathbb{F})$ مستقل خطی است.

گام چهارم: نتیجه‌گیری پایه بودن

• طول لیست: $m + 1$
• بعد فضای $\mathcal{P}_m(\mathbb{F})$: $m + 1$ طبق قضیه ۳۷.۲ آکسلر، چون این لیستِ مستقل خطی دارای طولی برابر با بعد فضا است، لزوماً کل $\mathcal{P}_m(\mathbb{F})$ را پوشش داده و یک پایه برای $\mathcal{P}_m(\mathbb{F})$ است. $\blacksquare$

روش جایگزین با بسط دوجمله‌ای

• می‌توان توان‌های $(1-x)^{m-k}$ را با قضیه دوجمله‌ای بسط داد. ماتریس ضرایب در تبدیل پایه استاندارد $(1, x, \dots, x^m)$ به این چندجمله‌ای‌ها یک ماتریس مثلثی است که تمام درایه‌های قطر اصلی آن ناصفرند ($\pm 1$). دترمینان آن ناصفر است و استقلال خطی را ثابت می‌کند. روش ارزیابی در صفر بدون نیاز به ماتریس و فوق‌العاده سریع‌تر است.