پیام کلیدی قضیه در یک جمله

اگر یک فضا را با هزاران پایه متفاوت توصیف کنید، تعداد بردارها در تمام این پایه‌ها دقیقاً یکسان است؛ طول پایه یک ویژگی ذاتی و تغییرناپذیر فضا است.

قضیه ۳۴.۲ کتاب آکسلر

هر دو پایه از یک فضای برداری با بعد متناهی، دارای طول یکسانی هستند.

اثبات کامل قضیه برابری طول پایه‌ها

گام اول (فرضیات اولیه): فرض کنید $V$ یک فضای برداری با بعد متناهی باشد و $B_1$ و $B_2$ دو پایه دلخواه از $V$ باشند.

گام دوم (اعمال اول نامساوی طول): طبق تعریف ۲۶.۲:

• چون $B_1$ یک پایه است، پس $B_1$ در $V$ مستقل خطی است.
• چون $B_2$ یک پایه است، پس $B_2$ فضای $V$ را گسترش می‌دهد (مولد است).

طبق قضیه ۲۲.۲ کتاب آکسلر، طول هر فهرست مستقل خطی حداکثر برابر با طول هر فهرست گسترش‌دهنده در همان فضا است. بنابراین:

$$\operatorname{length}(B_1) \le \operatorname{length}(B_2) \tag{۱}$$

گام سوم (اعمال دوم نامساوی با تعویض نقش‌ها): اکنون نقش $B_1$ و $B_2$ را جا‌به‌جا می‌کنیم:

• چون $B_2$ یک پایه است، پس $B_2$ در $V$ مستقل خطی است.
• چون $B_1$ یک پایه است، پس $B_1$ فضای $V$ را گسترش می‌دهد.

مجدداً با استناد به قضیه ۲۲.۲ نتیجه می‌گیریم:

$$\operatorname{length}(B_2) \le \operatorname{length}(B_1) \tag{۲}$$

گام چهارم (نتیجه‌گیری): از دو نامساوی (۱) و (۲) به طور هم‌زمان نتیجه می‌شود:

$$\operatorname{length}(B_1) = \operatorname{length}(B_2)$$

بنابراین هر دو پایه از $V$ دقیقاً دارای تعداد یکسانی از بردارها هستند. $\blacksquare$

دام‌های امتحانی

• وابستگی به میدان: طول پایه‌ها همواره یکسان است، به شرطی که میدان اسکالرها ثابت باشد. اگر میدان تغییر کند، طول پایه تغییر می‌کند (مثلاً $\mathbb{C}$ به عنوان فضای برداری روی خودش طول پایه ۱ دارد، ولی روی $\mathbb{R}$ پایه‌اش طول ۲ دارد).
• نقش حیاتی بعد متناهی بودن: در فضاهای بعد نامتناهی، مفهوم کاردینالیتی (اندازه مجموعه) مطرح می‌شود، هرچند قضیه تعمیم‌یافته با لم زورن نشان می‌دهد پایه‌های هامل نیز هم‌توان هستند.