صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

فرض کنید $m$ یک عدد صحیح مثبت است و $p_0, p_1, \dots, p_m \in \mathcal{P}(\mathbb{F})$ به طوری که هر $p_k$ دارای درجه $k$ است. ثابت کنید $p_0, p_1, \dots, p_m$ یک پایه از $\mathcal{P}_m(\mathbb{F})$ است.

اثبات به روش تحلیل بیشترین درجه

گام اول: اثبات استقلال خطی لیست فرض کنید اسکالرهایی مانند $c_0, c_1, \dots, c_m \in \mathbb{F}$ وجود داشته باشند به طوری که:

$$c_0 p_0 + c_1 p_1 + \dots + c_m p_m = 0 \quad \text{--- (۱)}$$

(در اینجا سمت راست تساوی، چندجمله‌ای صفر است). فرض خلف می‌کنیم که همه $c_i$ها صفر نباشند. بزرگ‌ترین اندیسی را که ضریب آن ناصفر است در نظر بگیرید و آن را $j$ بنامید:

$$j = \max \{ k \in \{0, 1, \dots, m\} : c_k \neq 0 \}$$

در این صورت به ازای هر $k > j$ داریم $c_k = 0$. پس معادله (۱) به صورت زیر کاهش می‌یابد:

$$c_0 p_0 + c_1 p_1 + \dots + c_j p_j = 0$$

یا به بیان دیگر:

$$c_j p_j = - (c_0 p_0 + c_1 p_1 + \dots + c_{j-1} p_{j-1}) \quad \text{--- (۲)}$$

درجه سمت چپ و راست تساوی (۲) را مقایسه می‌کنیم:

• چون $c_j \neq 0$ و $\deg(p_j) = j$، پس درجه سمت چپ برابر $j$ است: $$\deg(c_j p_j) = j$$
• در سمت راست، برای هر $k < j$ داریم $\deg(p_k) = k \le j - 1$. طبق ویژگی درجه چندجمله‌ای‌ها (درجه جمع حداکثر برابر با حداکثر درجات است): $$\deg\big( - (c_0 p_0 + \dots + c_{j-1} p_{j-1}) \big) \le \max_{0 \le k < j} \deg(p_k) = j - 1$$ تساوی (۲) ایجاب می‌کند که درجه $j$ با مقداری حداکثر برابر $j - 1$ مساوی باشد: $$j \le j - 1$$ که یک تناقض آشکار است! بنابراین فرض خلف باطل است و باید تمامی ضرایب صفر باشند: $$c_0 = c_1 = \dots = c_m = 0$$ این اثبات می‌کند که لیست $(p_0, p_1, \dots, p_m)$ در $\mathcal{P}_m(\mathbb{F})$ مستقل خطی است.

گام دوم: نتیجه‌گیری پایه بودن با تطابق بعد

• طول لیست $(p_0, \dots, p_m)$ برابر با $m + 1$ است.
• بعد فضای $\mathcal{P}_m(\mathbb{F})$ برابر با $m + 1$ است. طبق قضیه ۳۷.۲ آکسلر: «در یک فضای با بعد متناهی، هر لیست مستقل خطی با طولی برابر بعد فضا، یک پایه برای فضا است». بنابراین $p_0, p_1, \dots, p_m$ یک پایه از $\mathcal{P}_m(\mathbb{F})$ است. $\blacksquare$

اهمیت قضیه ۳۷.۲

• نیازی به اثبات جداگانه پوشش (Spanning) نیست! هر گاه تعداد بردارهای مستقل خطی دقیقاً با بعد فضا برابر شد، پوشش به طور خودکار تضمین شده است.