صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

فرض کنید:

$$U = \big\{ p \in \mathcal{P}_4(\mathbb{F}) : p(6) = 0 \big\}$$

الف) یک پایه برای $U$ پیدا کنید. ب) پایه در (الف) را به یک پایه از $\mathcal{P}_4(\mathbb{F})$ گسترش دهید. ج) یک زیرفضای $W$ از $\mathcal{P}_4(\mathbb{F})$ پیدا کنید به طوری که $\mathcal{P}_4(\mathbb{F}) = U \oplus W$.

حل گام‌به‌گام

بخش الف: یافتن پایه برای $U$

چندجمله‌ای‌های زیر را در نظر می‌گیریم:

$$p_1(x) = x - 6$$

$$p_2(x) = (x - 6)^2$$

$$p_3(x) = (x - 6)^3$$

$$p_4(x) = (x - 6)^4$$

• تعلق به $U$: برای هر $k \in \{1, 2, 3, 4\}$ داریم $p_k(6) = 0$ و $\deg(p_k) = k \le 4$. پس $p_k \in U$.
• استقلال خطی: این چندجمله‌ای‌ها دارای درجات متمایز $1, 2, 3, 4$ هستند. هر لیستی از چندجمله‌ای‌های ناصفر با درجات دوبه‌دو متمایز، مستقل خطی است.
• مولد بودن: اگر $p \in U$ باشد، طبق بسط تیلور چندجمله‌ای‌ها حول $x = 6$: $$p(x) = p(6) + c_1 (x - 6) + c_2 (x - 6)^2 + c_3 (x - 6)^3 + c_4 (x - 6)^4$$ چون $p(6) = 0$، جمله ثابت حذف شده و $p(x) = \sum_{k=1}^4 c_k p_k(x)$. بنابراین لیست $( (x - 6), (x - 6)^2, (x - 6)^3, (x - 6)^4 )$ یک پایه برای $U$ است و $\dim U = 4$.

بخش ب: گسترش به پایه $\mathcal{P}_4(\mathbb{F})$

چندجمله‌ای ثابت $p_0(x) = 1$ را به لیست اضافه می‌کنیم:

$$\mathcal{B} = \big( 1, (x - 6), (x - 6)^2, (x - 6)^3, (x - 6)^4 \big)$$

این ۵ چندجمله‌ای دارای درجات متمایز $0, 1, 2, 3, 4$ هستند، پس مستقل خطی‌اند. چون طول این لیست ۵ و برابر $\dim \mathcal{P}_4(\mathbb{F})$ است، طبق قضیه ۳۷.۲، یک پایه برای $\mathcal{P}_4(\mathbb{F})$ است.

بخش ج: یافتن مکمل مستقیم $W$

قرار می‌دهیم:

$$W = \operatorname{span}(1) = \big\{ c : c \in \mathbb{F} \big\}$$

(یعنی زیرفضای چندجمله‌ای‌های ثابت). اثبات جمع مستقیم: ۱. هر چندجمله‌ای $p \in \mathcal{P}_4(\mathbb{F})$ را می‌توان به صورت $p(x) = \big( p(x) - p(6) \big) + p(6)$ نوشت. چون $(p(x) - p(6))$ در ۶ صفر می‌شود، متعلق به $U$ است؛ و $p(6)$ یک عدد ثابت است و در $W$ قرار دارد. پس $\mathcal{P}_4(\mathbb{F}) = U + W$. ۲. اگر $q \in U \cap W$ باشد، چون $q \in W$، پس $q(x) = c$ ثابت است. از سوی دیگر چون $q \in U$، باید $q(6) = 0$ باشد؛ پس $c = 0 \implies q = 0$. بنابراین $U \cap W = \{0\}$. در نتیجه: $\mathcal{P}_4(\mathbb{F}) = U \oplus W$. $\blacksquare$

فرمول طلایی تجزیه

• فرمول $p(x) = (p(x) - p(a)) + p(a)$ استانداردترین روش برای اثبات مستقیم تجزیه یک فضا به جمع مستقیم زیرفضای ریشه‌ای و زیرفضای ثابت‌هاست.