مثال ۳۵.۲: ابعاد فضاهای مهم

۱. تحلیل و استخراج ابعاد فضاهای اساسی

۱. فضای مختصاتی $\mathbb{F}^n$

پایه استاندارد $\mathbb{F}^n$ متشکل از بردارهای یکه $e_1 = (1, 0, \dots, 0)$ تا $e_n = (0, \dots, 0, 1)$ است. چون این پایه شامل دقیقاً $n$ بردار است:

• نمونه‌ها: $\dim \mathbb{R}^2 = 2$، $\dim \mathbb{R}^3 = 3$، $\dim \mathbb{C}^4 = 4$ (روی $\mathbb{C}$).

۲. فضای چندجمله‌ای‌های درجه حداکثر $m$ یعنی $\mathcal{P}_m(\mathbb{F})$

پایه استاندارد این فضا عبارت است از:

تعداد جملات از توان $0$ تا توان $m$ است. بنابراین این پایه دارای $m + 1$ عضو است:

• به عنوان مثال، فضای چندجمله‌ای‌های درجه حداکثر ۳ یعنی $\mathcal{P}_3(\mathbb{R})$ دارای بعد ۴ است (با پایه $1, x, x^2, x^3$).

۳. زیرفضاهای مقید در $\mathbb{F}^3$ (مثال‌های کتاب آکسلر)

• زیرفضای $U = \{(x, x, y) \in \mathbb{F}^3 : x, y \in \mathbb{F}\}$: دیدیم که پایه‌ای برای این زیرفضا $((1, 1, 0), (0, 0, 1))$ است که دارای ۲ بردار است. بنابراین: $$\dim U = 2$$
• زیرفضای صفحه $U = \{(x, y, z) \in \mathbb{F}^3 : x + y + z = 0\}$: پایه این زیرفضا $((1, -1, 0), (1, 0, -1))$ دارای ۲ بردار است. بنابراین: $$\dim U = 2$$ قاعده سرانگشتی: هر معادله خطی همگن نابدیهی و مستقل، دقیقاً یک واحد از بعد فضا می‌کاهد (معادله قید = کاهش ۱ بعد).

۴. فضای ماتریس‌های $m \times n$ یعنی $\mathcal{M}_{m \times n}(\mathbb{F})$

ماتریس‌های پایه $E_{ij}$ (ماتریسی که در سطر $i$ و ستون $j$ برابر ۱ و بقیه درایه‌ها صفر است) پایه‌ای برای این فضا تشکیل می‌دهند. تعداد این ماتریس‌ها $m \times n$ است:

۵. زیرفضاهای ماتریس‌های متقارن و پادمتقارن در $\mathcal{M}_{n \times n}(\mathbb{F})$

• ماتریس‌های متقارن ($A^T = A$): درایه‌های روی قطر اصلی و بالای آن آزادند: $n + (n-1) + \cdots + 1 = \frac{n(n+1)}{2}$. $$\dim \operatorname{Sym}_n(\mathbb{F}) = \frac{n(n+1)}{2}$$
• ماتریس‌های پادمتقارن ($A^T = -A$): درایه‌های روی قطر اصلی صفرند و فقط درایه‌های بالای قطر آزادند: $$\dim \operatorname{Skew}_n(\mathbb{F}) = \frac{n(n-1)}{2}$$
• نکته زیبا: مجموع این دو بعد برابر $n^2$ است که تأیید می‌کند $\mathcal{M}_{n \times n} = \operatorname{Sym}_n \oplus \operatorname{Skew}_n$ (روی میدان‌هایی با مشخصه غیر از ۲).

۲. جدول جمع‌بندی ابعاد برای کنکور و امتحانات

۳. نکات کلیدی و هشدارهای امتحانی

۴. پیوندها

• تعریف بنیادین: تعریف بعد
• قضایای ابعاد زیرفضا: بعد یک زیرفضا
• فهرست مرجع: MOC فصل ۲