صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

نشان دهید زیرفضاهای $\mathbb{R}^2$ دقیقاً عبارتند از: ۱. زیرفضای صفر $\{0\}$ ۲. همه خطوط در $\mathbb{R}^2$ که از مبدأ می‌گذرند. ۳. کل فضای $\mathbb{R}^2$.

اثبات کامل بر اساس بعد زیرفضا

گام اول (بررسی زیرفضا بودن دسته‌های سه‌گانه): ۱. مجموعه تک‌عضوی $\{0\}$ طبق اصل اولیه همواره زیرفضای صفر است. ۲. هر خط گذرنده از مبدأ به صورت $L = \operatorname{span}(v) = \{ cv : c \in \mathbb{R} \}$ با $v \neq 0$ است. اسپن هر بردار ناصفر همواره یک زیرفضا است. ۳. کل فضا $\mathbb{R}^2$ زیرفضای خودش است.

گام دوم (اثبات جامع بودن دسته‌بندی): فرض کنید $U$ یک زیرفضای دلخواه از $\mathbb{R}^2$ باشد. چون $\mathbb{R}^2$ با بعد متناهی است و $\dim \mathbb{R}^2 = 2$، طبق قضیه بعد زیرفضا (قضیه ۳۶.۲):

$$0 \le \dim U \le \dim \mathbb{R}^2 = 2$$

بنابراین تنها سه حالت برای $\dim U$ امکان‌پذیر است:

• حالت ۱: $\dim U = 0$ تنها فضای برداری با بعد صفر، فضای برداری صفر است:

  $$U = \{0\}$$

• حالت ۲: $\dim U = 1$ چون $\dim U = 1$، هر پایه از $U$ دقیقاً دارای ۱ بردار ناصفر است. فرض کنید $(v)$ یک پایه برای $U$ باشد ($v = (x_0, y_0) \neq (0,0)$). بنابراین:

  $$U = \operatorname{span}(v) = \big\{ c(x_0, y_0) : c \in \mathbb{R} \big\}$$

  این مجموعه از نظر هندسی دقیقاً خط راستی است که از مبدأ مختصات $(0,0)$ و نقطه $(x_0, y_0)$ می‌گذرد (با شیب معین یا خط عمودی).

• حالت ۳: $\dim U = 2$ چون $U \subseteq \mathbb{R}^2$ و $\dim U = \dim \mathbb{R}^2 = 2$، طبق بخش دوم قضیه ۳۶.۲، بلافاصله نتیجه می‌شود:

  $$U = \mathbb{R}^2$$

نتیجه: هر زیرفضای $\mathbb{R}^2$ دقیقاً در یکی از این سه دسته قرار می‌گیرد. $\blacksquare$

اهمیت عبور از مبدأ

• خطوطی که از مبدأ عبور نمی‌کنند (مثل $x + y = 1$) هرگز زیرفضا نیستند چون عضو خنثای جمع $(0,0)$ را شامل نمی‌شوند و تحت ضرب اسکالر بسته نیستند.