قلب تپنده کتاب شلدون آکسلر

اگر یک لیست از بردارها وابسته خطی باشد، آنگاه حداقل یکی از بردارها وجود دارد که در «گستره بردارهای پیش از خود» قرار گرفته است؛ و مهم‌تر اینکه، می‌توان این بردار زاید را از لیست حذف کرد بدون اینکه ذره‌ای از گستره (Span) کل لیست کاسته شود!

لم ۱۹.۲ کتاب آکسلر (Linear Dependence Lemma)

فرض کنید $v_1, \dots, v_m$ یک لیست وابسته خطی در $V$ باشد. آنگاه عددی مانند $k \in \{1, 2, \dots, m\}$ وجود دارد به طوری که:

الف) بردار $k$-ام در گستره بردارهای قبلی قرار دارد:

$$v_k \in \operatorname{span}(v_1, \dots, v_{k-1})$$

ب) اگر بردار $k$-ام از لیست حذف شود، گستره لیست باقی‌مانده برابر با گستره لیست اولیه خواهد بود:

$$\operatorname{span}(v_1, \dots, \widehat{v_k}, \dots, v_m) = \operatorname{span}(v_1, \dots, v_m)$$

(که در آن $\widehat{v_k}$ به معنای حذف شدن $v_k$ از لیست است).

برهان به سبک آکسلر

فرض کنید $v_1, \dots, v_m$ یک لیست وابسته خطی در $V$ باشد.

گام اول: استفاده از وابستگی خطی و تعیین اندیس $k$ طبق تعریف وابستگی خطی، اسکالرهایی مانند $a_1, \dots, a_m \in \mathbb{F}$ وجود دارند که نه همه صفر، به طوری که:

$$a_1 v_1 + \dots + a_m v_m = 0$$

فرض کنید $k$ بزرگ‌ترین عنصر مجموعه $\{1, \dots, m\}$ باشد به طوری که $a_k \neq 0$. این انتخاب یعنی برای هر $j > k$ حتماً $a_j = 0$ است. پس معادله بالا ساده می‌شود به:

$$a_1 v_1 + \dots + a_k v_k = 0$$

گام دوم: منزوی کردن $v_k$ و اثبات قسمت (الف) چون $a_k \neq 0$ است، می‌توان طرفین را بر $a_k$ تقسیم کرده و $v_k$ را به یک سمت برد:

$$v_k = -\frac{a_1}{a_k} v_1 - \frac{a_2}{a_k} v_2 - \dots - \frac{a_{k-1}}{a_k} v_{k-1}$$

سمت راست این رابطه یک ترکیب خطی از بردارهای $v_1, \dots, v_{k-1}$ است. بنابراین:

$$v_k \in \operatorname{span}(v_1, \dots, v_{k-1})$$

و قسمت (الف) به زیبایی اثبات شد.

گام سوم: اثبات قسمت (ب) - برابری گستره‌ها پس از حذف فرض کنید $k$ هر عنصری از $\{1, \dots, m\}$ باشد که شرط $v_k \in \operatorname{span}(v_1, \dots, v_{k-1})$ را برآورده کند. پس اسکالرهایی مانند $b_1, \dots, b_{k-1} \in \mathbb{F}$ وجود دارند که:

$$(2.20) \qquad v_k = b_1 v_1 + \dots + b_{k-1} v_{k-1}$$

اکنون فرض کنید $u \in \operatorname{span}(v_1, \dots, v_m)$ یک بردار دلخواه در گستره اولیه باشد. پس ضرایب $c_1, \dots, c_m \in \mathbb{F}$ وجود دارند به طوری که:

$$u = c_1 v_1 + \dots + c_{k-1} v_{k-1} + c_k v_k + c_{k+1} v_{k+1} + \dots + c_m v_m$$

در معادله بالا، به جای $v_k$ مقدار معادل آن را از رابطه $(2.20)$ قرار می‌دهیم:

$$u = c_1 v_1 + \dots + c_{k-1} v_{k-1} + c_k (b_1 v_1 + \dots + b_{k-1} v_{k-1}) + c_{k+1} v_{k+1} + \dots + c_m v_m$$

با مرتب‌سازی و جمع کردن ضرایب بردارهای $v_1, \dots, v_{k-1}$:

$$u = (c_1 + c_k b_1) v_1 + \dots + (c_{k-1} + c_k b_{k-1}) v_{k-1} + c_{k+1} v_{k+1} + \dots + c_m v_m$$

در این عبارت نهایی، هیچ اثری از بردار $v_k$ نیست! یعنی بردار $u$ به عنوان ترکیب خطی از بردارهای باقی‌مانده نوشته شده است. پس:

$$u \in \operatorname{span}(v_1, \dots, \widehat{v_k}, \dots, v_m)$$

از طرفی واضح است که گستره لیست حاصل از حذف همواره زیرمجموعه گستره اولیه است. پس دو گستره دقیقاً با هم برابرند:

$$\operatorname{span}(v_1, \dots, \widehat{v_k}, \dots, v_m) = \operatorname{span}(v_1, \dots, v_m) \quad \blacksquare$$

حالت خاص $k = 1$

اگر در این لم $k = 1$ باشد، عبارت $v_k \in \operatorname{span}(v_1, \dots, v_{k-1})$ تبدیل می‌شود به:

$$v_1 \in \operatorname{span}() = \{0\}$$

این یعنی بردار اول برابر بردار صفر است ($v_1 = 0$). در این حالت حذف بردار اول ($v_1 = 0$) هیچ آسیبی به گستره نمی‌زند، زیرا بردار صفر هیچ نقشی در تولید نقاط ندارد.