نشان دهید لیست بردارها

در $\mathbb{F}^3$ وابسته خطی است اگر و فقط اگر $c = 8$.

گام اول (بررسی استقلال خطی دو بردار نخست): دو بردار اول را در نظر می‌گیریم:

اگر $v_1$ و $v_2$ وابسته خطی باشند، طبق تمرین ۴(ب) باید یکی مضرب دیگری باشد ($v_1 = k v_2$). از مؤلفه اول: $2 = k(1) \implies k = 2$. اما از مؤلفه دوم: $3 = k(-1) \implies 3 = -2$ که تناقض است (حتی در هر میدانی با مشخصه مخالف ۵؛ و به طور کلی هیچ اسکالری این دو رابطه را همزمان ارضا نمی‌کند). بنابراین لیست $(v_1, v_2)$ مستقل خطی است.

گام دوم (کاربرد لم وابستگی خطی): طبق لم وابستگی خطی (لم ۱۹.۲ آکسلر)، اگر یک لیست وابسته خطی باشد و بردار اول آن ناصفر باشد، عنصری در لیست وجود دارد که در گستره بردارهای ماقبل خود است. چون $v_1 \neq 0$ و $v_2 \notin \operatorname{span}(v_1)$، تنها برداری که می‌تواند در گستره عناصر قبلی باشد، بردار سوم $v_3$ است. پس لیست $(v_1, v_2, v_3)$ وابسته خطی است اگر و فقط اگر:

این یعنی اسکالرهایی مانند $a, b \in \mathbb{F}$ وجود دارند به طوری که:

گام سوم (حل دستگاه در میدان $\mathbb{F}$): رابطه برداری معادل دستگاه معادلات زیر است:

با جمع زدن معادله اول و دوم:

با جایگذاری $a = 2$ در معادله اول:

گام چهارم (اثبات دوطرفه حکم):

• جهت اول ($\implies$): اگر لیست وابسته خطی باشد، آنگاه طبق گام‌های قبل، باید $v_3 = a v_1 + b v_2$ با ضرایب یکتای $a = 2$ و $b = 3$ برقرار باشد. در نتیجه مؤلفه سوم باید برابر باشد با: $$c = a(1) + b(2) = 2(1) + 3(2) = 2 + 6 = 8$$
• جهت دوم ($\impliedby$): اگر $c = 8$ باشد، بردار سوم برابر است با $v_3 = (7, 3, 8)$. به وضوح مشاهده می‌کنیم که: $$2 v_1 + 3 v_2 = 2(2, 3, 1) + 3(1, -1, 2) = (4+3, 6-3, 2+6) = (7, 3, 8) = v_3$$ بنابراین: $$2 v_1 + 3 v_2 - 1 v_3 = (0, 0, 0)$$ ترکیب خطی بالا دارای ضرایب غیرصفر $(2, 3, -1)$ است که حاصل آن بردار صفر شده است. طبق تعریف ۱۷.۲، لیست $(v_1, v_2, v_3)$ وابسته خطی است.

بنابراین شرط لازم و کافی برای وابستگی خطی لیست، $c = 8$ است $\blacksquare$

• اثبات یک‌طرفه: چون صورت سوال گفته «اگر و فقط اگر»، حتماً باید هر دو جهت (شرط لازم و شرط کافی) یا گام‌های هم‌ارزی صریح را مکتوب کنید.
• تکیه بی‌مورد بر دترمینان: حل مسئله با صفر قرار دادن دترمینان ماتریس ضرایب در چارچوب کتاب آکسلر پذیرفته نیست، زیرا آکسلر دترمینان را تا فصل ۱۰ تعریف نمی‌کند و فلسفه کتاب «جبر خطی به شیوه درست و بدون دترمینان» است.