(الف) نشان دهید یک لیست به طول یک در یک فضای برداری مستقل خطی است اگر و فقط اگر بردار در لیست صفر نباشد.
(ب) نشان دهید یک لیست به طول دو در یک فضای برداری مستقل خطی است اگر و فقط اگر هیچ یک از دو بردار در لیست مضرب اسکالر دیگری نباشد.

حل بخش (الف): لیست به طول یک

جهت اول ($\implies$): اگر لیست $(v_1)$ مستقل خطی باشد، آنگاه $v_1 \neq 0$: اثبات با برهان خلف: فرض کنید $v_1 = 0$. اسکالر $a = 1 \in \mathbb{F}$ را در نظر بگیرید. چون $1 \neq 0$، داریم:

معادله $a v_1 = 0$ دارای جواب غیربدیهی $a = 1 \neq 0$ است. این با فرض مستقل خطی بودن $(v_1)$ تناقض دارد. بنابراین باید $v_1 \neq 0$ باشد.

جهت دوم ($\impliedby$): اگر $v_1 \neq 0$ باشد، آنگاه لیست $(v_1)$ مستقل خطی است: فرض کنید $a \in \mathbb{F}$ چنان باشد که:

طبق خواص بنیادی فضاهای برداری (فصل ۱ آکسلر)، اگر حاصل‌ضرب یک اسکالر در یک بردار برابر صفر شود، آنگاه یا اسکالر صفر است یا بردار صفر است ($a = 0$ یا $v_1 = 0$). اما طبق فرض، $v_1 \neq 0$ است. بنابراین لزوماً باید داشته باشیم:

این بدان معناست که تنها جواب معادله $a v_1 = 0$ جواب بدیهی $a = 0$ است. بنابراین لیست $(v_1)$ مستقل خطی است.

حل بخش (ب): لیست به طول دو

با اثبات هم‌ارزی گزاره با گزاره وابستگی خطی مسئله را حل می‌کنیم: «لیست $(v_1, v_2)$ وابسته خطی است $\iff$ حداقل یکی از بردارها مضرب اسکالر دیگری است».

جهت اول ($\implies$): اگر $(v_1, v_2)$ وابسته خطی باشد، یکی مضرب اسکالر دیگری است: طبق تعریف وابستگی خطی (تعریف ۱۷.۲)، اسکالرهایی مانند $a_1, a_2 \in \mathbb{F}$ وجود دارند که هر دو همزمان صفر نیستند ($(a_1, a_2) \neq (0, 0)$) به طوری که:

حداقل یکی از این دو اسکالر ناصفر است:

• اگر $a_1 \neq 0$ باشد، می‌توان طرفین را در $a_1^{-1}$ ضرب کرد: $$a_1 v_1 = -a_2 v_2 \implies v_1 = \left(-\frac{a_2}{a_1}\right) v_2$$ در این حالت $v_1$ مضرب اسکالر $v_2$ است.
• اگر $a_2 \neq 0$ باشد، به طریق مشابه: $$a_2 v_2 = -a_1 v_1 \implies v_2 = \left(-\frac{a_1}{a_2}\right) v_1$$ در این حالت $v_2$ مضرب اسکالر $v_1$ است. در هر دو حالت، حداقل یکی از دو بردار مضرب اسکالر دیگری است.

جهت دوم ($\impliedby$): اگر یکی از بردارها مضرب دیگری باشد، لیست وابسته خطی است: بدون کاهش کلیت فرض کنید یکی از بردارها مضرب اسکالر دیگری است:

• حالت اول: فرض کنید $v_1 = c v_2$ برای مقداری $c \in \mathbb{F}$. آن‌گاه می‌توان نوشت: $$1 \cdot v_1 + (-c) \cdot v_2 = 0$$ در این ترکیب خطی، ضریب بردار $v_1$ برابر $1 \neq 0$ است.
• حالت دوم: فرض کنید $v_2 = c v_1$ برای مقداری $c \in \mathbb{F}$. آن‌گاه می‌توان نوشت: $$(-c) \cdot v_1 + 1 \cdot v_2 = 0$$ در این ترکیب خطی، ضریب بردار $v_2$ برابر $1 \neq 0$ است. در هر دو حالت، یک ترکیب خطی مساوی صفر با ضرایبی ناصفر پیدا شد. طبق تعریف ۱۷.۲، لیست $(v_1, v_2)$ وابسته خطی است.

با نقیض کردن این هم‌ارزی، حکم بخش (ب) اثبات می‌شود: لیست $(v_1, v_2)$ مستقل خطی است اگر و فقط اگر هیچ یک از دو بردار مضرب اسکالر دیگری نباشد $\blacksquare$

• فراموشی بردار صفر در بخش (ب): اگر یکی از بردارها صفر باشد (مثلاً $v_1 = 0$)، آنگاه $v_1 = 0 \cdot v_2$ است، یعنی بردار صفر مضرب اسکالر بردار دیگر است. بنابراین آزمون «مضرب اسکالر بودن» شامل حالت بردار صفر نیز می‌شود و نیازی به جداسازی پرونده‌های پیچیده نیست.
• تقسیم بر صفر: در گام بازآرایی رابطه $a_1 v_1 + a_2 v_2 = 0$، هرگز ننویسید $v_1 = -(a_2/a_1)v_2$ بدون آنکه ابتدا شرط $a_1 \neq 0$ را مشخص کرده باشید.