اثبات یا ارائه یک مثال نقض: اگر $v_1, \dots, v_m$ و $w_1, \dots, w_m$ لیست‌های مستقل خطی از بردارها در $V$ باشند، آنگاه لیست

مستقل خطی است.

حکم مورد ادعا نادرست است. در ادامه دو مثال نقض صریح ارائه می‌شود:

مثال نقض اول (با بردار صفر در مجموع):

فرض کنید $V = \mathbb{R}^2$ و $m = 1$.

• بردار اول: $v_1 = (1, 0) \in \mathbb{R}^2$. چون $v_1 \neq 0$، طبق تمرین ۴(الف)، لیست تک‌عضوی $(v_1)$ مستقل خطی است.
• بردار دوم: $w_1 = (-1, 0) \in \mathbb{R}^2$. چون $w_1 \neq 0$، طبق تمرین ۴(الف)، لیست تک‌عضوی $(w_1)$ نیز مستقل خطی است.
• اکنون مجموع نظیر به نظیر را محاسبه می‌کنیم: $$v_1 + w_1 = (1, 0) + (-1, 0) = (0, 0)$$ حاصل، بردار صفر است. هر لیست شامل بردار صفر (از جمله لیست تک‌عضوی $((0, 0))$) وابسته خطی است، زیرا برای اسکالر $c = 1 \neq 0$ داریم: $$1 \cdot (v_1 + w_1) = 1 \cdot (0, 0) = (0, 0)$$ بنابراین لیست مجموع، مستقل خطی نیست.

مثال نقض دوم (برای $m \ge 2$ با بردارهای مجموع غیرصفر):

فرض کنید $V = \mathbb{R}^2$ و $m = 2$.

• لیست اول: بردارهای پایه استاندارد را انتخاب می‌کنیم: $$v_1 = (1, 0), \quad v_2 = (0, 1)$$ این لیست در $\mathbb{R}^2$ مستقل خطی است.
• لیست دوم: جای دو بردار را عوض می‌کنیم: $$w_1 = (0, 1), \quad w_2 = (1, 0)$$ این لیست نیز مستقل خطی است.
• اکنون مجموع نظیر به نظیر را تشکیل می‌دهیم: $$u_1 = v_1 + w_1 = (1, 0) + (0, 1) = (1, 1)$$ $$u_2 = v_2 + w_2 = (0, 1) + (1, 0) = (1, 1)$$ لیست مجموع عبارت است از: $$u_1, \; u_2 = (1, 1), \; (1, 1)$$ این دو بردار با یکدیگر برابرند ($u_1 = u_2$). ترکیب خطی زیر را در نظر بگیرید: $$1 \cdot u_1 + (-1) \cdot u_2 = 1(1, 1) - 1(1, 1) = (0, 0)$$ ضرایب این ترکیب $(1, -1)$ هستند که صفر نیستند. طبق تعریف ۱۷.۲، لیست $u_1, u_2$ وابسته خطی است.

بنابراین گزاره در حالت کلی نادرست است $\blacksquare$

• تلاش بیهوده برای اثبات درستی: برخی تصور می‌کنند چون جمع زیرفضاها خاصیت خطی دارد، استقلال خطی نیز روی مجموع نظیر به نظیر توزیع می‌شود. استقلال خطی ارتباط تنگاتنگی با زاویه و عدم هم‌پوشانی بردارها دارد و بردارها می‌توانند در اثر جمع یکدیگر را خنثی کنند ($w_k = -v_k$).
• کفایت یک مثال نقض: برای رد کردن یک گزاره کلی (که با سور عمومی بیان شده است)، آوردن یک مثال نقض مستند، دقیق و کامل از نظر ریاضی کاملاً کافی است.