تعریف ۱۷.۲: وابستگی خطی (Linear Dependence)

۱. درک شهودی و فیزیکی

وابستگی خطی یعنی «افزونگی اطلاعات» یا «تکرار جهت». اگر لیستی از بردارها وابسته خطی باشد، یعنی حداقل یکی از بردارها کار مفیدی انجام نمی‌دهد و می‌توان آن را از فضا حذف کرد بدون اینکه هیچ نقطه‌ای از گستره از دست برود! این بردار زاید در واقع در «سایه» یا «صفحه» تولیدشده توسط بردارهای دیگر گم شده است.

۲. متن رسمی ریاضی (کتاب آکسلر)

۳. کالبدشکافی منطقی عبارت «نه همه صفر»

• عبارت «نه همه صفر» در نماد منطقی به این معناست: $$\exists j \in \{1, \dots, m\} \quad \text{s.t.} \quad a_j \neq 0$$
• این شرط به این معنی نیست که هیچ‌کدام صفر نباشند؛ بلکه حتی اگر ۹۹ ضریب از ۱۰۰ ضریب صفر باشند ولی فقط یکی از ضرایب ناصفر باشد و معادله صفر شود، لیست وابسته خطی است!

۴. قضایای معادل و پیامدهای فوری

1. وجود بردار صفر در لیست: هر لیستی که شامل بردار صفر باشد، بلافاصله وابسته خطی است. اثبات: اگر $v_1 = 0$ باشد، با انتخاب $a_1 = 1 \neq 0$ و بقیه ضرایب $0$ داریم: $$1 \cdot 0 + 0 v_2 + \dots + 0 v_m = 0$$
2. رابطه با ترکیب خطی سایرین: یک لیست وابسته خطی است اگر و تنها اگر حداقل یکی از بردارها ترکیب خطی از بقیه بردارها باشد. اثبات: اگر $a_j \neq 0$ باشد، می‌توان $v_j$ را جدا کرد: $$v_j = -\sum_{i \neq j} \frac{a_i}{a_j} v_i$$ و برعکس، اگر $v_j$ ترکیب خطی بقیه باشد، با بردن آن به طرف دیگر رابطه $v_j - \sum c_i v_i = 0$ ضریب ۱ برای $v_j$ ناصفر است.

۵. تعبیر هندسی و شهود بصری

در صفحه دو بعدی $\mathbb{R}^2$، دو بردار وابسته خطی یعنی دو بردار هم‌خط. در فضای سه بعدی $\mathbb{R}^3$، سه بردار وابسته خطی یعنی سه بردار هم‌صفحه.

appName: 3d
width: 700
height: 450
showToolBar: false
showAlgebraInput: true
showMenuBar: false
commands:
  - "Pt1 = (0,0,0)"
  - "Pt2 = (2, 1, 0)"
  - "u = Vector(Pt1, Pt2)"
  - "Pt3 = (0,0,0)"
  - "Pt4 = (1, 3, 0)"
  - "v = Vector(Pt3, Pt4)"
  - "w = 1.5 * u + 0.5 * v"
caption: "سه بردار وابسته خطی در صفحه xy: بردار w در صفحه دو بردار دیگر قرار دارد"
explain:
  - "بردار w کاملاً از ترکیب خطی u و v تولید شده است."
  - "هر سه بردار بر یک صفحه تخت قرار دارند و بعد سومی تولید نمی‌کنند."

۶. ارتباطات و پیوندهای اتمیک

• تعریف مکمل: تعریف ۱۵.۲: استقلال خطی
• مثال‌های عددی: مثال ۱۸.۲: لیست‌های وابسته خطی
• لم کلیدی کتاب: لم ۱۹.۲: لم وابستگی خطی (Linear Dependence Lemma)