چکیده مفهومی

بررسی استقلال خطی در دو بستر بسیار مهم: بردارهای پایه استاندارد در $\mathbb{F}^4$ و چندجمله‌ای‌های تک‌جمله‌ای $1, z, \dots, z^m$ در $\mathcal{P}(\mathbb{F})$.

مثال ۱۶.۲ (الف) کتاب آکسلر

برای دیدن اینکه لیست:

$$(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0)$$

در $\mathbb{F}^4$ مستقل خطی است، فرض کنید $a_1, a_2, a_3 \in \mathbb{F}$ باشند به طوری که ترکیب خطی برابر بردار صفر شود:

$$a_1(1, 0, 0, 0) + a_2(0, 1, 0, 0) + a_3(0, 0, 1, 0) = (0, 0, 0, 0)$$

با جمع مؤلفه‌ها در سمت چپ داریم:

$$(a_1, a_2, a_3, 0) = (0, 0, 0, 0)$$

با برابری مؤلفه‌ها، بلافاصله نتیجه می‌شود:

$$a_1 = 0, \quad a_2 = 0, \quad a_3 = 0$$

بنابراین این لیست در $\mathbb{F}^4$ مستقل خطی است.

مثال ۱۶.۲ (ب) کتاب آکسلر

فرض کنید $m$ یک عدد صحیح نامنفی است. می‌خواهیم نشان دهیم لیست:

$$1, z, z^2, \dots, z^m$$

در $\mathcal{P}(\mathbb{F})$ مستقل خطی است.

برهان: فرض کنید $a_0, a_1, \dots, a_m \in \mathbb{F}$ و ترکیب خطی آن‌ها تابع صفر باشد:

$$a_0 (1) + a_1 z + \dots + a_m z^m = 0$$

این تساوی باید برای همه $z \in \mathbb{F}$ برقرار باشد:

$$\forall z \in \mathbb{F}: \quad a_0 + a_1 z + \dots + a_m z^m = 0$$

همان‌طور که در تعریف ۱۰.۲ بیان شد (و طبق قضیه اساسی جبر یا نامتناهی بودن میدان)، یک چندجمله‌ای غیرصفر حداکثر $m$ ریشه دارد. از آنجا که این چندجمله‌ای برای بی‌نهایت مقدار $z$ صفر است، لزوماً باید تک‌تک ضرایب آن صفر باشند:

$$a_0 = a_1 = \dots = a_m = 0$$

پس لیست $1, z, \dots, z^m$ در $\mathcal{P}(\mathbb{F})$ مستقل خطی است.