رفتن به متن
باغ ریاضی
مثال ۸.۲ لیستی که Fn را گسترش می‌دهد
تنظیمات مطالعه
تنظیمات مطالعه

مثال ۸.۲ لیستی که Fn را گسترش می‌دهد

#مثال#گسترش_دادن#مولد#فصل_۲#جبر_خطی#Fnنسخهٔ رسمی

یادداشت شما ذخیره شد

می‌خواهید این تغییرات برای مدیر وب‌سایت هم ارسال شوند؟ نسخهٔ رسمی تنها پس از تأیید تغییر می‌کند.

مثال ۸.۲: لیستی که Fn\mathbb{F}^n را گسترش می‌دهد

چکیده مفهومی

با انتخاب nn بردار که هرکدام فقط در یکی از درگاه‌ها مقدار ۱ و در بقیه صفر دارند، می‌توان به سادگی هر بردار دلخواه در Fn\mathbb{F}^n را ساخت؛ پس این لیست، Fn\mathbb{F}^n را گسترش می‌دهد.

۱. متن مثال کتاب آکسلر

مثال ۸.۲ کتاب آکسلر

فرض کنید nn یک عدد صحیح مثبت است. می‌خواهیم نشان دهیم که لیست:

(1,0,…,0),(0,1,0,…,0),…,(0,…,0,1)(1, 0, \dots, 0), (0, 1, 0, \dots, 0), \dots, (0, \dots, 0, 1)

فضای Fn\mathbb{F}^n را گسترش می‌دهد. در اینجا kk-امین بردار در لیست بالا، در kk-امین درگاه عدد 11 و در بقیه درگاه‌ها 00 دارد.

اثبات: فرض کنید (x1,…,xn)∈Fn(x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{F}^n یک بردار دلخواه باشد. آنگاه:

(x1,…,xn)=x1(1,0,…,0)+x2(0,1,0,…,0)+⋯+xn(0,…,0,1)(x_1, \dots, x_n) = x_1 (1, 0, \dots, 0) + x_2 (0, 1, 0, \dots, 0) + \dots + x_n (0, \dots, 0, 1)

بنابراین:

(x1,…,xn)∈span⁡((1,0,…,0),(0,1,0,…,0),…,(0,…,0,1))(x_1, \dots, x_n) \in \operatorname{span}\big((1, 0, \dots, 0), (0, 1, 0, \dots, 0), \dots, (0, \dots, 0, 1)\big)

که نشان می‌دهد این لیست واقعاً Fn\mathbb{F}^n را گسترش می‌دهد.

۲. تحلیل ساختاری و نمادگذاری بردارهای استاندارد

بردارهای معرفی‌شده در این مثال، بردارهای پایه استاندارد نامیده می‌شوند و معمولاً با e1,e2,…,ene_1, e_2, \dots, e_n نمایش داده می‌شوند:

  • e1=(1,0,0,…,0)e_1 = (1, 0, 0, \dots, 0)
  • e2=(0,1,0,…,0)e_2 = (0, 1, 0, \dots, 0)
  • ⋮\vdots
  • en=(0,0,0,…,1)e_n = (0, 0, 0, \dots, 1)

برای هر عضو x=(x1,…,xn)∈Fnx = (x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{F}^n رابطه زیر به صورت کاملاً سرراست برقرار است:

x=∑k=1nxkekx = \sum_{k=1}^n x_k e_k

ضرایب ترکیب خطی دقیقاً همان مؤلفه‌های تکی بردار هستند!

۳. اهمیت بنیادین این مثال در کتاب آکسلر

این مثال ساده، اولین سنگ‌بنای طبقه‌بندی فضاهای برداری است:

  • ثابت می‌کند فضای Fn\mathbb{F}^n دارای یک لیست متناهی مولد (با طول nn) است.
  • بنابراین طبق تعریف ۹.۲، فضای Fn\mathbb{F}^n یک فضای بعد-متناهی است.

۴. ارتباطات و پیوندهای اتمیک

پیوندهای این یادداشت ۳

یادداشت‌هایی که از این صفحه به آن‌ها پیوند داده شده است.

  • تعریف ۹.۲ فضای برداری با بعد متناهی
    پیش‌نمایش

    تعریف ۹.۲: فضای برداری با بعد متناهی (Finite-Dimensional Vector Space)

    چکیده مفهومی

    یک فضای برداری «بعد-متناهی» است اگر بتوان تمام اعضای آن را با ترکیب‌های خطی یک لیست متناهی از بردارها تولید کرد. یعنی فضا توسط تعداد محدودی جهت اصلی گسترش می‌یابد.

  • تعریف ۷.۲ گسترش دادن فضا (مجموعه مولد)
    پیش‌نمایش

    تعریف ۷.۲: گسترش دادن فضا (مجموعه مولد / Spanning Set)

    چکیده مفهومی

    اگر با ترکیب‌های خطی یک لیست از بردارها بتوان «تمام» بردارهای یک فضای برداری را بدون کم‌وکاست ساخت، می‌گوییم آن لیست فضا را «گسترش می‌دهد» یا «مولد» آن فضا است.

  • مثال ۱۶.۲ لیست‌های مستقل خطی
    پیش‌نمایش

    مثال ۱۶.۲: لیست‌های مستقل خطی

    چکیده مفهومی

    بررسی استقلال خطی در دو بستر بسیار مهم: بردارهای پایه استاندارد در F4\mathbb{F}^4 و چندجمله‌ای‌های تک‌جمله‌ای 1,z,…,zm1, z, \dots, z^m در P(F)\mathcal{P}(\mathbb{F}).

ارجاعات به این یادداشت ۴

یادداشت‌هایی که به این صفحه پیوند داده‌اند.

حالت ارائه