مثال ۲۳.۲: هیچ لیستی با بیش از ۳ بردار در $\mathbb{R}^3$ مستقل خطی نیست

۱. متن مثال کتاب آکسلر

۲. قدرت روش آکسلر در برابر روش‌های سنتی

• در روش سنتی (جبر خطی ماتریسی): دانشجو باید این ۴ بردار را در ستون‌های یک ماتریس $3 \times 4$ می‌چید، عملیات سطری مقدماتی انجام می‌داد، متغیرهای آزاد را پیدا می‌کرد تا نتیجه بگیرد بردارها وابسته‌اند.
• در روش آکسلر: صرف مشاهده اینکه «طول لیست مستقل خطی نمی‌تواند از طول یک لیست مولد فراتر رود» و دانستن اینکه ۳ بردار کل فضا را پوشش می‌دهند، اثبات را در یک خط به پایان می‌رساند: $$4 > 3 \implies \text{وابسته خطی}$$

۳. تعمیم کلی به $\mathbb{F}^n$

۴. تجسم هندسی با مدل جئوجبرا

در فضای سه‌بعدی، سه بردار مستقل خطی تمام جهات فضا را پر می‌کنند؛ هر بردار چهارم دلخواه لزوماً در گستره آن‌ها قرار می‌گیرد و وابستگی خطی ایجاد می‌کند:

appName: 3d
width: 700
height: 450
showToolBar: false
showAlgebraInput: true
showMenuBar: false
commands:
  - "Pt1 = (0,0,0)"
  - "Pt2 = (2, 0, 0)"
  - "e1 = Vector(Pt1, Pt2)"
  - "Pt3 = (0,0,0)"
  - "Pt4 = (0, 2, 0)"
  - "e2 = Vector(Pt3, Pt4)"
  - "Pt5 = (0,0,0)"
  - "Pt6 = (0, 0, 2)"
  - "e3 = Vector(Pt5, Pt6)"
  - "Pt7 = (0,0,0)"
  - "Pt8 = (2, 2, 2)"
  - "v4 = Vector(Pt7, Pt8)"
caption: "چهار بردار در R3: بردارهای e1 و e2 و e3 کل فضا را پوشش می‌دهند و بردار چهارم v4 لزوماً وابسته خطی است"
explain:
  - "سه بردار پایه تمام ابعاد فضای سه بعدی را پر کرده‌اند."
  - "بردار چهارم v4 به صورت یکتای e1 + e2 + e3 ترکیب خطی آنهاست."
  - "هیچ راهی برای افزودن بعد چهارم در R3 وجود ندارد؛ بنابراین بیش از ۳ بردار در R3 همواره وابسته‌اند."

۵. ارتباطات و پیوندهای اتمیک

• قضیه حاکم: قضیه ۲۲.۲: طول لیست مستقل کمتر مساوی طول لیست مولد
• مثال مولد متناظر: مثال ۸.۲: لیستی که Fn را گسترش می‌دهد
• مثال مکمل در مولد بودن: مثال ۲۴.۲: هیچ لیستی با کمتر از ۴ بردار R4 را گسترش نمی‌دهد