هر تکه و زیرمجموعه خطی (زیرفضا) از یک جهان بعد-متناهی، خود لزوماً بعد-متناهی است؛ نامتناهی بودن ابعاد هرگز نمی‌تواند درون یک فضای متناهی‌البعد پنهان شده باشد.

هر زیرفضای یک فضای برداری با بعد-متناهی، خود دارای بعد-متناهی است. به بیان صوری: اگر $V$ یک فضای برداری با بعد متناهی باشد و $U$ زیرفضایی از $V$ باشد ($U \le V$)، آنگاه $U$ نیز با بعد-متناهی است.

فرض کنید $V$ یک فضای برداری با بعد-متناهی و $U$ یک زیرفضا از $V$ باشد. چون $V$ بعد-متناهی است، طبق تعریف لیستی متناهی مانند $w_1, \dots, w_n$ وجود دارد که $V$ را گسترش می‌دهد. برای اثبات بعد-متناهی بودن $U$، فرآیند چندمرحله‌ای زیر را اجرا می‌کنیم:

مرحله ۱:

• اگر $U = \{0\}$ باشد، آنگاه لیست تهی $()$ فضای $U$ را گسترش می‌دهد ($\operatorname{span}() = \{0\} = U$). بنابراین $U$ بعد-متناهی است و کار تمام است.
• اگر $U \neq \{0\}$ باشد، یک بردار ناصفر $u_1 \in U$ انتخاب می‌کنیم.

مرحله $k$ (برای $k \ge 2$):

• اگر $U = \operatorname{span}(u_1, \dots, u_{k-1})$ باشد، آنگاه لیست $u_1, \dots, u_{k-1}$ زیرفضای $U$ را گسترش می‌دهد؛ پس $U$ بعد-متناهی است و کار تمام است.
• در غیر این صورت، یعنی اگر $U \neq \operatorname{span}(u_1, \dots, u_{k-1})$، برداری مانند $u_k \in U$ وجود دارد به طوری که: $$u_k \notin \operatorname{span}(u_1, \dots, u_{k-1})$$ این بردار $u_k$ را انتخاب کرده و به لیست اضافه می‌کنیم.

تحلیل پایان‌پذیری الگوریتم: پس از هر مرحله، لیستی از بردارها $u_1, \dots, u_k$ در $U$ ساخته‌ایم با این ویژگی کلیدی که: هیچ برداری در این لیست در گستره بردارهای ماقبل خود قرار ندارد. بنابراین طبق لم وابستگی خطی (۱۹.۲)، این لیست لزوماً مستقل خطی است.

اکنون این لیست مستقل خطی از بردارهای $U$، هم‌زمان لیستی مستقل خطی در کل فضای $V$ نیز هست (چون $U \subseteq V$). از طرفی می‌دانیم لیست $w_1, \dots, w_n$ کل فضای $V$ را گسترش می‌دهد. طبق قضیه ۲۲.۲ (طول لیست مستقل خطی کمتر مساوی طول لیست گسترش‌دهنده)، طول این لیست مستقل خطی نمی‌تواند از $n$ بیشتر باشد:

بنابراین این فرآیند نمی‌تواند تا ابد ادامه یابد و حداکثر در مرحله $n+1$ (یا قبل از آن) به پایان می‌رسد. پایان یافتن فرآیند یعنی در مرحله‌ای مانند $m \le n$ به رابطه‌ای می‌رسیم که:

چون لیستی متناهی از بردارهای $U$ یافت شد که $U$ را گسترش می‌دهد، طبق تعریف، زیرفضای $U$ یک فضای برداری با بعد-متناهی است. $\blacksquare$