رفتن به متن
باغ ریاضی
مثال ۲۴.۲ هیچ لیستی با کمتر از ۴ بردار R4 را گسترش نمی‌دهد
تنظیمات مطالعه
تنظیمات مطالعه

مثال ۲۴.۲ هیچ لیستی با کمتر از ۴ بردار R4 را گسترش نمی‌دهد

#مثال#گسترش_دادن#نامساوی_طول#فصل_۲#جبر_خطی#R4نسخهٔ رسمی

یادداشت شما ذخیره شد

می‌خواهید این تغییرات برای مدیر وب‌سایت هم ارسال شوند؟ نسخهٔ رسمی تنها پس از تأیید تغییر می‌کند.

مثال ۲۴.۲: هیچ لیستی با کمتر از ۴ بردار R4\mathbb{R}^4 را گسترش نمی‌دهد

چکیده مفهومی

چون ۴ بردار استاندارد در R4\mathbb{R}^4 مستقل خطی هستند، هر لیست مولد باید حداقل ۴ عضو داشته باشد؛ بنابراین هیچ لیستی با ۳ بردار یا کمتر نمی‌تواند تمام R4\mathbb{R}^4 را پوشش دهد.

۱. متن مثال کتاب آکسلر

مثال ۲۴.۲ کتاب آکسلر

لیست چهار بردار زیر در R4\mathbb{R}^4:

(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)

که طول آن برابر چهار است، در R4\mathbb{R}^4 مستقل خطی است (طبق مثال ۱۶.۲). بنابراین طبق قضیه ۲۲.۲، طول هر لیست گسترش‌دهنده R4\mathbb{R}^4 باید بزرگتر یا مساوی ۴ باشد:

4≤طول هر لیست گسترش‌دهنده4 \le \text{طول هر لیست گسترش‌دهنده}

نتیجه: هیچ لیستی با طول کمتر از چهار، R4\mathbb{R}^4 را گسترش نمی‌دهد.

برای مثال، اکنون بدون نیاز به هیچ محاسبه‌ای می‌دانیم که لیست سه برداری زیر:

(1,2,3,−5),(4,5,8,3),(9,6,7,−1)(1, 2, 3, -5), (4, 5, 8, 3), (9, 6, 7, -1)

که طول آن برابر سه است، نمی‌تواند R4\mathbb{R}^4 را گسترش دهد.

۲. تقارن زیبای مثال ۲۳.۲ و ۲۴.۲

قضیه ۲۲.۲ دو تیغه برنده دارد:

طول لیست مستقل خطی≤طول لیست مولد\text{طول لیست مستقل خطی} \le \text{طول لیست مولد}
  1. اگر یک لیست مولد با طول nn داشته باشیم: هیچ لیست مستقلی نمی‌تواند طولی >n> n داشته باشد (سقف برای استقلال - مثال ۲۳.۲).
  2. اگر یک لیست مستقل با طول mm داشته باشیم: هیچ لیست مولدی نمی‌تواند طولی <m< m داشته باشد (کف برای پوشش - مثال ۲۴.۲).

۳. نتیجه‌گیری شهودی و هندسی

شما نمی‌توانید با ۳ جهت، فضایی ۴ بعدی را پر کنید. همان‌طور که با یک بردار فقط یک خط (۱ بعدی) و با ۲ بردار فقط یک صفحه (۲ بعدی) ساخته می‌شود، با ۳ بردار در R4\mathbb{R}^4 حداکثر یک زیرفضای سه بعدی ساخته می‌شود و همواره بردارهایی در بعد چهارم دست‌نیافتنی باقی می‌مانند.

۴. ارتباطات و پیوندهای اتمیک

پیوندهای این یادداشت ۴

یادداشت‌هایی که از این صفحه به آن‌ها پیوند داده شده است.

  • مثال ۱۶.۲ لیست‌های مستقل خطی
    پیش‌نمایش

    مثال ۱۶.۲: لیست‌های مستقل خطی

    چکیده مفهومی

    بررسی استقلال خطی در دو بستر بسیار مهم: بردارهای پایه استاندارد در F4\mathbb{F}^4 و چندجمله‌ای‌های تک‌جمله‌ای 1,z,…,zm1, z, \dots, z^m در P(F)\mathcal{P}(\mathbb{F}).

  • قضیه ۲۲.۲ طول لیست مستقل خطی کمتر مساوی طول لیست مولد است
    پیش‌نمایش

    قضیه ۲۲.۲: طول لیست مستقل خطی کمتر مساوی طول لیست مولد است

    اساسی‌ترین نامساوی جبر خطی

    در هر فضای برداری با بعد متناهی، هیچ لیست مستقل خطی نمی‌تواند طولانی‌تر از یک لیست مولد باشد:

    طول هر لیست مستقل خطی≤طول هر لیست گسترش‌دهنده\text{طول هر لیست مستقل خطی} \le \text{طول هر لیست گسترش‌دهنده}

    این قضیه ضامن خوش‌تعریف بودن مفهوم «بُعد» در سراسر ریاضیات است.

  • مثال ۲۳.۲ هیچ لیستی با بیش از ۳ بردار در R3 مستقل خطی نیست
    پیش‌نمایش

    مثال ۲۳.۲: هیچ لیستی با بیش از ۳ بردار در R3\mathbb{R}^3 مستقل خطی نیست

    چکیده مفهومی

    چون سه بردار استاندارد فضای R3\mathbb{R}^3 را گسترش می‌دهند، طبق نامساوی بنیادین طول، هر لیستی با ۴ بردار یا بیشتر در R3\mathbb{R}^3 بدون نیاز به هیچ‌گونه محاسبه‌ای لزوماً وابسته خطی است.

  • قضیه ۲۵.۲ بعد متناهی بودن زیرفضای یک فضای با بعد متناهی
    پیش‌نمایش

    قضیه ۲۵.۲: بعد متناهی بودن زیرفضای یک فضای با بعد متناهی

    پیام کلیدی قضیه در یک جمله

    هر تکه و زیرمجموعه خطی (زیرفضا) از یک جهان بعد-متناهی، خود لزوماً بعد-متناهی است؛ نامتناهی بودن ابعاد هرگز نمی‌تواند درون یک فضای متناهی‌البعد پنهان شده باشد.

ارجاعات به این یادداشت ۳

یادداشت‌هایی که به این صفحه پیوند داده‌اند.

حالت ارائه